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| Aufgabe | | Stammfunktion von 1/X² |
1/X integriert gibt ja ln(X), muss man bei 1/X² dann ebenfalls so verfahren? wenn ja oder auch nicht was wäre das Ergebnis? :)
Und warum gilt bei 1/X die Aufleitung ln(x) gibt es da irgendeinen Beweis oder muss man das einfach nicht verstehen?!
wäre dankbar über eine Anwort, danke schon im Vorraus!!!!
mfg Isabella
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das kann man ganz einfach mit der Potenzregel integrieren!
[mm] f(x)=x^{-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(x)=-\bruch{1}{x}+C.
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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ah dankeschön!!!!!! ging doch einfacher als gedacht :)
aber warum weiß man oder wie kann amn sich herleiten, dass 1/x die stammfunktion ln(x) hat???
mfg Isabella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 07.03.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Gaensebluemchen!
Dass [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] die Ableitung von $ln(x)$ ist, kann man erkennen, wenn man die eigentliche Schreibweise für den logarithmus naturalis betrachtet. Dieser ist ja wie folgt definiert:
[mm] $\ln(x)=\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}$
[/mm]
Laut dem zweiten (ich meine, es ist der zweite) Hauptsatz der Integralrechnung gilt, wenn $F(x)$ eine Stammfunktion ist:
$F'(x)=f(x)$
Für den logarithmus naturalis heißt das also:
[mm] $\ln'(x)=f(x)=\bruch{1}{x}$
[/mm]
[Der logarithmus naturalis ist nämlich die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x}$]
[/mm]
Ich hoffe, das hilft!
Liebe Grüße
Seppel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 07.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Stammfunktion von 1/X²
> 1/X integriert gibt ja ln(X), muss man bei 1/X² dann
> ebenfalls so verfahren? wenn ja oder auch nicht was wäre
> das Ergebnis? :)
>
> Und warum gilt bei 1/X die Aufleitung ln(x) gibt es da
> irgendeinen Beweis oder muss man das einfach nicht
> verstehen?!
> wäre dankbar über eine Anwort, danke schon im Vorraus!!!!
> mfg Isabella
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo Gänseblümchen,
also zur ersten Frage möchte ich dir nur einen kleinen Hinweis geben:
[mm] $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$
[/mm]
Nun zur zweiten Frage:
Es gibt einen Beweis und der ist noch nicht einmal besonders schwierig,
aber du musst die Integration durch Substitution beherschen.
[mm] $\integral_{}^{}\frac{1}{x} [/mm] dx$ mit [mm] $e^z=\frac{1}{x}$ [/mm] bzw. [mm] $x=e^{-z}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{}^{}e^z [/mm] dx$ mit [mm] $\frac{d x}{d z}=x'=-e^{-z}$ $\to [/mm] dx= [mm] -e^{-z}*dz$
[/mm]
[mm] $=\integral_{}^{}e^z *(-e^{-z}) [/mm] dz$
[mm] $=\integral_{}^{}-1 [/mm] dz$
$=-z$ mit [mm] $e^z=x^{-1}$ $\to z=-\ln [/mm] (x)$
[mm] $=\ln(x)$
[/mm]
q.e.d.
Ich hoffe, dass es ersichtlich ist, sollte etwas unklar sein, frag einfach nach.
Gruß
Nicolas
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