Stammfkt. von Geb.rat.fkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute
Gesucht ist:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{4x^{2}+12x+13}}
[/mm]
Wäre die 13 eine 9, dann konnte ich es als Binom zusammenfassen, aber so habe ich keine Ahnung wie ich die Stammfunktion finden kann.
Bis dann
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:23 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Schreibe dir die Funktion doch mal etwas anders, und zwar:
$ [mm] f(x)=(4x^2+12x+13)^{-1} [/mm] $
$ [mm] f(g(x))=g^{-1} [/mm] $
Nun die Kettenregel anwenden und die Sache ist gegessen....
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:26 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dunbi!
Das funktioniert aber bei gebrochen-rationalen Funktionen leider nicht so leicht.
Lösungsansatz ... siehe unten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 So 26.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Warum fuktioniert das nicht so einfach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Woodstock!
Wende hier im Nenner die quadratische Ergänzung an:
[mm] $\bruch{1}{4x^2+12x+13} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4x^2+12x+9-9+13} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2x+3)^2+4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^2*\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+2^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+1}$
[/mm]
Durch Substitution $t \ := \ [mm] x+\bruch{3}{2}$ [/mm] sowie mit der Integrationsregel [mm] $\integral{\bruch{dz}{z^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(z) [/mm] + C$ solltest Du dann das Ergebnis erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:18 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Woodstock_x |
Hallo Loddar,
danke für die Antwort und das geht wirklich einfach so. Ich substituiere ausdrücke so, dass ein Bekannter ausdruck raus kommt, den Integiere ich und dann mache ich die Sub. rückgängig?
Die substituierte Funktion muss doch wenigstens linear sein, oder?
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Hallo [mm] Woodstock_x,
[/mm]
> Hallo Loddar,
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> danke für die Antwort und das geht wirklich einfach so. Ich
> substituiere ausdrücke so, dass ein Bekannter ausdruck raus
> kommt, den Integiere ich und dann mache ich die Sub.
> rückgängig?
> Die substituierte Funktion muss doch wenigstens linear
> sein, oder?
Such mal hier nach dem Stichwort Substitution (button oben rechts) und du findest viele durchgerechnete und kommentierte Beispiele.
Gruß informix
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