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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | 10)
a) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx}
[/mm]
Substitutionsregel: [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))\*g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}
[/mm]
=> g(x) = [mm] x^2+x; [/mm] g'(x) = 2x+1; f(z) = ??? |
Hallo,
also ich komme einfach nicht hinter die Substitutionsregel. Ich hab das Gefühl, dass ich hier ein relativ einfaches Beispiel erwischt hab, trotzdem komme ich nicht auf f(z).
Mit freundlichen Grüßen,
Richie
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Hallo richie90,
> 10)
> a) [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx}[/mm]
>
> Substitutionsregel: [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))\*g'(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}[/mm]
>
> => g(x) = [mm]x^2+x;[/mm] g'(x) = 2x+1; f(z) = ???
> Hallo,
>
> also ich komme einfach nicht hinter die Substitutionsregel.
> Ich hab das Gefühl, dass ich hier ein relativ einfaches
> Beispiel erwischt hab, trotzdem komme ich nicht auf f(z).
Führe zunächst eine Polynomdivision durch.
Für den dann entstehenden gebrochen Teil
kannst Du die Substitution [mm]u=2x-1[/mm] anwenden.
>
> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Richie
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | Polynomdivision:
[mm] (5x^2+x):(2x-1) [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}
[/mm]
[mm] -(5x^2-\bruch{5}{2}x)
[/mm]
_________
[mm] \bruch{7}{2}x
[/mm]
[mm] -(\bruch{7}{2}x-\bruch{7}{4})
[/mm]
_________
[mm] \bruch{7}{4} [/mm] |
Was mache ich denn dann jetzt mit dem Rest?
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Hallo richie90,
> Polynomdivision:
>
> [mm](5x^2+x):(2x-1)[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}[/mm]
> [mm]-(5x^2-\bruch{5}{2}x)[/mm]
> _________
> [mm]\bruch{7}{2}x[/mm]
> [mm]-(\bruch{7}{2}x-\bruch{7}{4})[/mm]
> _________
> [mm]\bruch{7}{4}[/mm]
> Was mache ich denn dann jetzt mit dem Rest?
Nun jetzt kannst Du also schreiben:
[mm]\bruch{5x^{2}+x}{2x-1}=\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}+\bruch{7/4}{2x-1}[/mm]
Das Integral [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4} \ dx}[/mm] kannst Du ohne Substitution berechnen.
Für das Integral [mm]\integral_{}^{}{\bruch{7/4}{2x-1} \ dx}[/mm] kannst Du die Substitution [mm]u=2x-1[/mm] verwenden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{5x^2+x}{2x-1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{5}{2}x+\bruch{7}{4}) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{7}{4(2x-1)} dx}
[/mm]
Das erste Integral ist ja wie gesagt ohne Substitution zu lösen. Das zweite Integral jedoch mit Substitution.
g(x) = 2x-1
g'(x) = 2
=> f(z) = [mm] \bruch{1}{4z}\*\bruch{2}{7} [/mm] = [mm] \bruch{1}{14z} [/mm] |
Wie ich festgestellt habe, ist f(z) aber falsch.
Wie lautet es richtig und warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 01.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richie!
[mm] $$\integral{\bruch{7}{4*(2x-1)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{z} \ \bruch{dz}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{4}*\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{8}*\ln|z| [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | | f(z) = [mm] \bruch{1}{2}\*\bruch{1}{z} [/mm] |
Kannst du mir erklären, warum f(z) so aussieht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mo 02.03.2009 | | Autor: | glie |
Hallo Richie,
also zunächst mal ein allgemeiner Tipp:
Bei der Integration mit Substitution würde ich zunächst die Integrationsgrenzen weglassen und das unbestimmte Integral berechnen, denn dann sparst du dir das Umrechnen der Integrationsgrenzen.
Machen wir es langsam:
[mm] \integral{\bruch{7}{4(2x-1)} dx}=\integral{\bruch{7}{4}*\bruch{1}{2x-1} dx}=\bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{2x-1} dx}
[/mm]
Wir substituieren
[mm] \mm{z=2x-1}
[/mm]
Dann gilt
[mm] \bruch{dz}{dx}=2
[/mm]
[mm] \gdw dx=\bruch{dz}{2}
[/mm]
Also erhalten wir:
[mm] \bruch{7}{4}*\integral{\bruch{1}{z}*\bruch{dz}{2}}=\bruch{7}{4}*\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{z} dz}=\bruch{7}{8}*ln|z|+c=\bruch{7}{8}*ln|2x-1|+c
[/mm]
Gruß Glie
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