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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 So 06.07.2008 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Gegeben sei die parameterabhängige skalare Differentialgleichung
x" = [mm] \alpha*x´-x+x^2
[/mm]
Transformieren Sie diese auf ein äquivalentes Dgl System 1. Ordnung der Form
x´= [mm] f_\alpha [/mm] (x,y)
y´ = [mm] g_\alpha [/mm] (x,y)
Bestimmen Sie für [mm] \alpha \not= [/mm] 0 alle asymptotisch stabilen Ruhelagen des Dgl systems.
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Mein Dgl erster ordnung sieht folgendermaßen aus:
x´= y
y´= [mm] \alpha* [/mm] y - x+ [mm] x^2
[/mm]
Die Ruhelagen sind (0,0) und (1,0)
Mit Hilfe einer Linearisierung des Systems habe ich folgendes erhalten
Jf(x,y) = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1+2*x & \alpha }
[/mm]
für den Punkt (0,0) sind die Eigenwerte [mm] \lamda [/mm] = [mm] \bruch{\alpha \pm \wurzel{\alpha^2-4}}{2} [/mm]
Für [mm] \alpha [/mm] < 0 sind alle Eigenwerte mit Realteil <0 und damit ist (0,0)stabil.
Für [mm] \alpha [/mm] >0 bin ich mir nicht sicher, wie es weitergeht.
Man müsste jetzt wieder 2 Fälle unterscheiden glaube ich.
[mm] \alpha^2 [/mm] -4 >0 und [mm] \alpha^2 [/mm] -4 <0, wobei ich ab hier auf dem Schlauch stehe.
Helft mir bitte
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 10.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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