Stabile Bahnen in R^n < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Äquivalent zum Keplerpotential in einem n-dimensionalen Raum (n>=3) ist [mm] V(r)=-c/r^{n-2} [/mm] mit c>0 und [mm] r=|\overrightarrow{r}|, \overrightarrow{r}=(x1,...,xn)(dieses [/mm] Zentralpotential führt zu einem Kraftfeld, dass für [mm] r\not=0 [/mm] divergenzfrei ist). Außerdem lässt sich zeigen, dass (neben der Energie) der (verallgemeinerte) Drehimpuls mit Betrag L erhalten ist und die Bahn in einer zweidimensionalen Ebene liegt.
Zeigen Sie mit Hilfe des Effektivpotentials, dass für n>3 KEINE stabile Bahnen möglich sind. |
Hallo Leute,
zunächst gehe ich davon aus, das stabile Bahnen geschlossene Bahnen meint. Mein Ansatz ist, dass das Effektive Potential kein Minimum haben darf, damit es keine Potentialfalle gibt. Alles klar, das effektive Potential ist
Veff=V+L²/(2*mü*r²)=
[mm] -c/r^{n-2}+L²/(2*mü*r²)
[/mm]
[mm] Veff'=(n-2)*c/r^{n-1}-L²/(mü*r^{3})
[/mm]
[mm] Veff''=-(n-2)*(n-1)c/r^{n}+3*L²/(mü*r^{4})
[/mm]
Ok, angenommen n=5:
[mm] Veff'=3*c/r^{4}-L²/(mü*r^{3})
[/mm]
[mm] =\underbrace{1/r^{3}}_{\not=0}*(3c/r-L²/mü)=0
[/mm]
--> r=3c*mü/L²
Veff''(r=3*c*mü/L²; [mm] n=5)=-12*c/r^{^5}+3*L²/(mü*r^{4})
[/mm]
[mm] =1/r^{4}*[-12cL²/(3c*mü)+3L²/mü]
[/mm]
[mm] =1/r^{4}*L²/mü*(-4+3)<0
[/mm]
man hat also einen Hochpunkt, also gibts keine geschlossen Bahn.
Aber wie zeige ich das für alle n. Induktion wäre ne möglichkeit, allerdings muss ich ja zeigen, dass [mm] Veff'\not=0 [/mm] oder Veff'=0 UND Veff''<=0.
Wie macht man sowas?
Oder reicht eine "Physikerinduktion" indem ich noch n=4 und n=6 zeige? Ich meine, es ist ja schließlich Physik^^.
Danke Leute,
Benevonmattheis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 30.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Dein Ansatz ist schon richtig, aber warum legst du n fest?
> zunächst gehe ich davon aus, das stabile Bahnen
> geschlossene Bahnen meint. Mein Ansatz ist, dass das
> Effektive Potential kein Minimum haben darf, damit es keine
> Potentialfalle gibt. Alles klar, das effektive Potential
> ist
> Veff=V+L²/(2*mü*r²)=
> [mm]-c/r^{n-2}+L²/(2*mü*r²)[/mm]
> [mm]Veff'=(n-2)*c/r^{n-1}-L²/(mü*r^{3})[/mm]
> [mm]Veff''=-(n-2)*(n-1)c/r^{n}+3*L²/(mü*r^{4})[/mm]
Also:
[mm] V'_{\text{eff}} = \bruch{1}{mr^3} \left((n-2)cmr^{4-n} -L^2\right) \implies r = \left(\bruch{(n-2)cm}{L^2}\right)^{1/(n-4)}[/mm]
und in [mm]V''_{\text{eff}}[/mm] einsetzen.
VIele Grüße
Rainer
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