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Hallo,
ich hab mal wieder eine Aufgabe bekommen zu der ich leider überhaupt keine Idee habe....!
Es sei A: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraums V über K. Zeigen Sie: Sind B1 und B2 zwei Basen von V, so gilt
Spur([A]B1) = Spur([A]B2)
Bin für jeden Tipp dankbar :)!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da es sich um eine Basistransformation handelt (also eine Ähnlichkeitstransformation) gibt es eine invertierbare Matrix $C$ mit
[mm] $A_{{\cal B}_1} [/mm] = C [mm] A_{{\cal B}_2}C^{-1}$.
[/mm]
Weiterhin gilt für zwei [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen $A$ und $B$ allgemein:
$Spur(AB) = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji} [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n b_{ji} a_{ij} [/mm] = Spur(BA)$.
Daraus folgt:
[mm] $Spur(A_{{\cal B}_1}) [/mm] = Spur (C [mm] A_{{\cal B}_2}C^{-1}) [/mm] = Spur( [mm] C^{-1} [/mm] C [mm] A_{{\cal B}_2}) [/mm] = [mm] Spur(A_{{\cal B}_2})$,
[/mm]
wie behauptet.
Viele Grüße
Julius
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