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| Aufgabe | | Bestimme aus den Stützpunkten (0,1), (1,4), (2,3) einen natürlichen kubischen Interpolationsspline |
Hallo,
ich bin gerade dabei mich auf die Numerikklausur vorzubereiten. Ich habe irgenwie Probleme mit der Splineinterpolation. Konkret bei der Bestimmung eines solchen. Daher würde ich mich freuen, wenn mir jemand helfen kann, wie ich aus gegebenen Stützstellen einen natürlichen kubischen Int.spline zusammenbasteln kann. Die obigen Stützstellen 0,1,2 mit den Werten 1,4 und 3 sind einfach mal als kleines Beispiel ausgewählt.
Ich weiß dass bei 2 Intervallen insgesamt 8 Unbekannte auftreten und aus den Bedingungen 6 Gleichungen entstehen, für das Beinhalten der Punkte und für die Stetigkeit bis zur zweiten Ableitung im in dem Fall inneren Punkt. Die beiden anderen Gleichungen aus den Randbedingungen für den natürlichen Spline.
Soweit zur grauen Theorie, wie sehen denn nun konkret die Gleichungen aus, aus denen man dann die Parameter der beiden kubischen Polynome berechnen kann?
Es grüßt,
Antiprofi
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> Bestimme aus den Stützpunkten (0,1), (1,4), (2,3) einen
> natürlichen kubischen Interpolationsspline
> Ich weiß dass bei 2 Intervallen insgesamt 8 Unbekannte
> auftreten und aus den Bedingungen 6 Gleichungen entstehen,
> für das Beinhalten der Punkte und für die Stetigkeit bis
> zur zweiten Ableitung im in dem Fall inneren Punkt. Die
> beiden anderen Gleichungen aus den Randbedingungen für den
> natürlichen Spline.
> Wie sehen denn nun konkret die
> Gleichungen aus, aus denen man dann die Parameter der
> beiden kubischen Polynome berechnen kann?
Hallo,
Im vorliegenden Beispiel hast du 3 Stützpunkte, also
2 Teilintervalle, für die du je eine kubische Funktion
aufstellen musst. Jede davon hat 4 freie Parameter,
also hast du insgesamt 8 Unbekannte und brauchst
entsprechend 8 Gleichungen. Sei die Funktion für
das linke Teilintervall [mm] f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d,
[/mm]
die andere Funktion [mm] g(x)=e*x^3+f*x^2+g*x+h.
[/mm]
Die 8 Gleichungen ergeben sich aus:
f(0)=1
f(1)=4
g(1)=4
g(2)=3
f'(1)=g'(1) (kein Knick an der Nahtstelle)
f''(1)=g''(1) (stetige Krümmung an der Nahtstelle)
f''(0)=0 (dies sind die "natürlichen
g''(2)=0 Randbedingungen)
Um jetzt z.B. die fünfte dieser Gleichungen
umzusetzen, musst du die Polynome zuerst
formal ableiten und dann f'(1)=g'(1) setzen.
Das ergibt also:
[mm] f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+c [/mm] $\ f'(1)=3*a+2*b+c$
[mm] g'(x)=3*e*x^2+2*f*x+g [/mm] $\ g'(1)=3*e+2*f+g$
Gleichsetzen $\ f'(1)=g'(1)$ ergibt die Gleichung:
$\ 3*a+2*b+c-3*e-2*f-g=0$
Analog verfährt man mit allen anderen Gleichungen
und hat dann das [mm] 8\times{8}- [/mm] Gleichungssystem aufzulösen.
Ziemlicher Aufwand, doch sind solche Rechnungen
dann ja normalerweise für unsere elektronischen
Heinzelmännchen gedacht 
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Antiprofi |
Danke! Dann war das doch so einfach und ich hab mir das dank der wirren Vorlesungsmitschriften viel zu kompliziert gemacht :) Als Ergebnis hab ich jetzt rausbekommen [mm] s_{1}(x)=-x^{3}+4x+1 [/mm] und [mm] s_{2}(x)=x^{3}-6x^{2}+10x-1. [/mm] Hab zwar jetzt noch keine Probe gemacht, aber sieht jedenfalls gut aus.
Ahoj!
Antiprofi
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