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| Aufgabe | | In einem Kaugummiautomaten werden Pä̈ckchen zu €1 angeboten, die entweder mit €1 oder €2 Münzen bezahlt werden kö̈nnen. In einem Monat benutzen durchschnittlich N Kinder den Automaten, wobei n Kinder mit einer €1 Mü̈nze und die restlichen mit einer €2 Mü̈nze bezahlen. Zu Beginn des Monats seien q €1 Mü̈nzen als Wechselgeld im Automaten vorhanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wä̈hrend des gesamten Monats immer genug Wechselgeld vorhanden ist unter der Annahme, dass jede Reihenfolge des Eintreffens der N Kinder gleichwahrscheinlich ist? |
Liebe Mathe-Gemeinde, ich bitte um Eure Mithilfe, habe ein kleines Verständnis-Problem zu der genannten Aufgabe und erhoffe mir hier etwas Hilfe dabei.
Also:
Ich weiß ich muß das ganze mit Polygonzügen berechnen, sei also
q := Anzahl €1 Münzen zu Beginn des Monats
N := Anzahl aller Kinder, die im Monat Kaugummi kaufen
n := Anzahl der Kinder, die mit €1 Münze bezahlen
N - n = m := Anzahl der Kinder die mit €2 Münze bezahlen
q + n - m = r := Anzahl der €1 Münzen am Ende des Monats
|A| = {Anzahl der Polygonzüge von (0,q) nach (N,r), die nicht durch (k,0) für ein 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] N laufen}
Somit ist |A| die Anzahl der Pfade von (0,q) nach (N,r), die die x-Achse nicht berühren.
Jetzt fängt es schon an bei mir zu kriseln...
|B| = {Anzahl aller möglich Polygonzuge von (0,q) nach (N,r)}
Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit = |A| / |B|
|A| und |B| muß ich nun mit dem Spiegelungsprinzip berechnen, also mit Binomialkoeffizienten, aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich welche Werte wo einsetze, da bei mir das Verständnis für Polygonzüge und deren Berechnung mangelhaft ist. Ich hoffe, wenn mir einer erklärt, wie ich die Formel der Polygonzuberechnung und das Spiegelungsprinzip anwende, dass es bei mir "Klick" macht....
Vielen Dank im Voraus an Euch!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hat denn niemand eine kleine Idee oder einen Ansatzpunkt für mich?!? :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:34 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> In einem Kaugummiautomaten werden Pä̈ckchen zu €1
> angeboten, die entweder mit €1 oder €2 Münzen bezahlt
> werden kö̈nnen. In einem Monat benutzen durchschnittlich
> N Kinder den Automaten, wobei n Kinder mit einer €1
> Mü̈nze und die restlichen mit einer €2 Mü̈nze
> bezahlen. Zu Beginn des Monats seien q €1 Mü̈nzen als
> Wechselgeld im Automaten vorhanden. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass wä̈hrend des gesamten Monats
> immer genug Wechselgeld vorhanden ist unter der Annahme,
> dass jede Reihenfolge des Eintreffens der N Kinder
> gleichwahrscheinlich ist?
>
> Liebe Mathe-Gemeinde, ich bitte um Eure Mithilfe, habe ein
> kleines Verständnis-Problem zu der genannten Aufgabe und
> erhoffe mir hier etwas Hilfe dabei.
> Also:
> Ich weiß ich muß das ganze mit Polygonzügen berechnen,
> sei also
>
> q := Anzahl €1 Münzen zu Beginn des Monats
> N := Anzahl aller Kinder, die im Monat Kaugummi kaufen
> n := Anzahl der Kinder, die mit €1 Münze bezahlen
> N - n = m := Anzahl der Kinder die mit €2 Münze
> bezahlen
> q + n - m = r := Anzahl der €1 Münzen am Ende des
> Monats
>
> |A| = {Anzahl der Polygonzüge von (0,q) nach (N,r), die
> nicht durch (k,0) für ein 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N laufen}
>
> Somit ist |A| die Anzahl der Pfade von (0,q) nach (N,r),
> die die x-Achse nicht berühren.
>
> Jetzt fängt es schon an bei mir zu kriseln...
>
> |B| = {Anzahl aller möglich Polygonzuge von (0,q) nach
> (N,r)}
>
> Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit = |A| / |B|
>
> |A| und |B| muß ich nun mit dem Spiegelungsprinzip
> berechnen, also mit Binomialkoeffizienten, aber ich weiß
> überhaupt nicht, wie ich welche Werte wo einsetze, da bei
> mir das Verständnis für Polygonzüge und deren Berechnung
> mangelhaft ist. Ich hoffe, wenn mir einer erklärt, wie ich
> die Formel der Polygonzuberechnung und das
> Spiegelungsprinzip anwende, dass es bei mir "Klick"
> macht....
Nun, deine Polygonzuege gehen ja fuer jeden Schritt nach Rechts entweder einen Schritt hoch oder runter (1-Euro-Muenze oder 2-Euro-Muenze eingeworfen). Damit kannst du das Spiegelungsprinzip anwenden. Dieses besagt:
Die Anzahl der Wege von $(0, q)$ nach $(N, r)$, die die horizontale Achse schneiden, ist gleich der Anzahl der Wege von $(0, -q)$ nach $(N, r)$.
Du musst also die Anzahl der Wege von $(0, q)$ nach $(N, r) = (N, q + 2 n - N)$ zaehlen, und die Anzahl der Wege von $(0, -q)$ nach $(N, r) = (N, q + 2 n - N)$.
Die Anzahl der Wege von $(x, y)$ nach $(x', y')$ ist nun $\binom{x' - x}{(y' + x' - y - x)/2}$: setzt du nun $x, y, x', y'$ passend ein, so erhaelst du eine Formel fuer das Ergebnis.
LG Felix
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
--- Polygonzüge sind ja auch nicht gerade alltäglich, finde ich. Wenn hier jemand vorbeischaut, der in diesem Themenbreich fit ist, dann wird deine Frage auch sicher beantwortet werden. Dass die Möglichkeit besteht, dass hier auch manchmal eine Frage unbeantwortet bleibt, ist sicher nicht schön, aber es kommt vor und ändern kann man das halt nicht. That's life 
