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| Aufgabe | Ich würde gerne wissen an welcher Geraden sich Vektoren spiegeln wenn sie mit der foglende Spiegelungsmatrix für unterschiedliche [mm] \alpha [/mm] multipliziert werden:
[mm] A=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix} [/mm] |
Für [mm] \alpha=90° [/mm] werden Vektoren an der Geraden y=x gespiegelt.
Für andere Winkel werden an anderen geraden gespiegelt. Woher weiß an welcher Geraden für unterschiedliche Winkel die Vektoren gespiegelt werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 15.06.2016 | | Autor: | hippias |
Versuche diesselbe Methode, mit der Du herausgefunden hast, an welcher Gerade bei [mm] $\alpha= 90^{\circ}$ [/mm] gespiegelt wird, auf den allgemeinen Fall anzuwenden.
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Anscheinend werden die Vektoren an der Geraden gespiegelt, die [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] entfernt sind.
ich weiß, das ist ein furchtbar ungenauer satz. wie kann man den besser ausdrücken? ist die vermutung überhaupt richtig?
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Hallo,
bei Wikipedia heißt die Gerade "Ursprungsgerade mit Neigungswinkel alpha" (bzw. in Deiner Formulierung alpha/2.
https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix
Viele Grüße,
Erik
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Hallo,
Und woher weiß ich in welcher Richtung (Im oder gegen den Uhrzeigersinn)der neigungswinkel gilt?
zum Beispiel für [mm] \alpha=90^\circ [/mm] wird der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] an der Geraden mit dem Neigungswinkel [mm] \alpha/2 [/mm] GEGEN den Uhrzeigersinn gespiegelt
für [mm] \alpha=60^\circ [/mm] wird der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] an der Geraden mit dem Neigungswinkel [mm] \alpha/2 [/mm] IM Uhrzeigersinn gespiegelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mo 20.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
spiegeln hat keinen Uhrzeigersinn! der Vektor wird immer auf die andere Seite der Spiegelgerade gespiegelt. sowohl bei 90° als auch bei 60° der Vektor (1,0) wird dabei einmal um 90° um den 0 Pkt gedreht, bei [mm] \alpha [/mm] =60° wird (1,0) auch gegen den Uhrzeigersinn gedreht, und zwar um 60°. bei Drehungen kannst du von Uhrzeigersinn reden, bei Spiegelungen nicht. der Vektor (0,1)etwa wird bei der Spiegelung, bei der (1,0) um 60° gegen den UZS gedreht wird im UZS um 120° gedreht.
Gruß ledum
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Auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gibt es nur eine 2x2 Matrix für die Spiegelung.
Kann man im Raum oder im [mm] \IR^n [/mm] keine Vektoren spiegeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Auf Wikipedia
> gibt es nur eine 2x2 Matrix für die Spiegelung.
>
> Kann man im Raum oder im [mm]\IR^n[/mm] keine Vektoren spiegeln?
Doch, z.B. so:
Ist V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt $<*|*>$ und a [mm] \in [/mm] V, a [mm] \ne [/mm] 0, so definiere die Abbildung [mm] $S_a:V \to [/mm] V$ durch
[mm] $S_a(x):=x-2 \bruch{}{}a$
[/mm]
[mm] S_a [/mm] ist linear.
Es ist $ [mm] V=[a]\oplus [a]^{\perp}$, [/mm] wobei [a] die lineare Hülle von a bez.
[mm] S_a [/mm] spiegelt V an der Hyperebene [mm] [a]^{\perp}
[/mm]
FRED
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Auf Wikipedia wird erklärt wie man einene Vektor an einer beliebigen Geraden spiegelt, aber ich verstehe das nicht.
Ich verstehe die Gleichung [mm] \vec{v}'=\vec{v}-\vec{a} [/mm] nicht. Diese Gleichung verschiebt ja den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] um [mm] \vec{a} [/mm] , aber wozu?
Ich hätte das so gemacht: ich will den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] an der Geraden [mm] g=\vec{a}+r*\vec{u} [/mm] mit dem Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] spiegeln.
Dafür hätte ich den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] mit der Spiegelungsmatrix multipliziert:
[mm] \pmat{ cos2\alpha & sin2\alpha \\sin2\alpha & -cos2\alpha }*\vec{v}=\vec{q'}
[/mm]
Der Winkel [mm] \alpha [/mm] in der Matrix entspricht dem neigungswinkel der Geraden g.
Dieses Ergebnis [mm] \vec{q'} [/mm] hätte ich nun zum Stützpunkt der Geraden g verschoben
[mm] \vec{q}=\vec{q'}+\vec{a}
[/mm]
[mm] \vec{q} [/mm] ist die Spiegelung von [mm] \vec{v} [/mm] an der Geraden g. Wieso ist diese lösung falsch? (Zumindest unterscheidet sie sich zu Wikipedia)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Di 21.06.2016 | | Autor: | hippias |
Die Multiplikation mit der Matrix liefert immer eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden. Daher muss der Vektor erst verschoben werden - bzw. die Gerade bzw. der Kordinatenursprung - ehe die zugehörige Spiegelungsmatrix angwendet werden kann. Ein Beispiel. $v=(-1,0)$ soll gespiegelt werden an der Geraden $g= [mm] (1000,0)+\IR(0,1)$. [/mm] Wende ich die entsprechende Matrix an, so erhält man $v'=(1,0)$, was einer Spiegelung an der Urspungsgeraden [mm] $\IR(0,1)$ [/mm] entspricht. Verschiebung liefert den Punkt $(1001,0)$. Die Lage des Punktes zu der Geraden wurde also überhaupt nicht richtig berücksichtigt.
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Hallo,
> Die Multiplikation mit der Matrix liefert immer eine
> Spiegelung an einer Ursprungsgeraden.
Ja wenn ich für die Matrix für [mm] \alpha [/mm] denselben Winkel einsetze wie die Gerade, dann hat die Spiegelungsgerade (die Ursprungsgerade) denselben Winkel bzw. Richtung wie die Gerade.
Ich will meine Idee nochmal mit bildern deutlich machen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was genau ist an diesem Ansatz falsch? bzw. wo ist der Unterschied zu Wikipedias erklärung?
> Daher muss der Vektor erst verschoben werden - bzw. die Gerade bzw. der
> Kordinatenursprung - ehe die zugehörige Spiegelungsmatrix angwendet werden kann.
Das verstehe ich leider nicht. Wieso muss der Vektor verschoben werden? ein Vektor hat ja keinen festen Punkt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 21.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit der Spiegelungsmatrix wird ein Ortsvektor, oder ein Punkt gespiegelt. (das steht leider nicht in wiki, folgt aber aus dem Rest.) Das steht in wiki nicht. wenn du einen Vektor mit Aufpunkt spiegelst, also einen Ortsvektor, bekommt er bei der Mult. mit der Matrix zwar die richtige Richtung, aber einen falschen Aufpunkt, weil der auch an der Ursprungsgeraden gespiegelt wird.
spiegle doch einfach mal selbst einen Vektor an der Geraden y=x und y=x+2 und sieh dir an was passiert. wenn du es wie wiki machst oder nach deinem Vorschlag.
Gruß leduart.
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Ich habe immer noch nicht verstanden wie man einen beliebigen vektor an einer beliebigen geraden spiegelt.
Bei der Erklärung von Wikipedia macht der erste Punkt für mich überhaupt keinen Sinn. Da steht:
> Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden [mm] g^\*=r*\vec{u} [/mm] zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g um [mm] -\vec{a} [/mm] erreicht: [mm] \vec{v'}=\vec{v}-\vec{a} [/mm] .
Müsste hier nicht stehen: "Dies wird durch Verschiebung von [mm] \vec{v} [/mm] um [mm] -\vec{a} [/mm] erreicht: [mm] \vec{v'}=\vec{v}-\vec{a} [/mm] ?
Sonst macht der zitierte Satz für mich keinen Sinn. Wieso wird die Gerade g zum Ursrpung verschoben durch die Gleichung [mm] \vec{v'}=\vec{v}-\vec{a} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mo 11.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um welchen Stützvektor willst du denn v verschieben?
eine Gerade hat unendlich viele Stützvektoren
g: a+r*u
[mm] g:(a+r_1*u+s*u [/mm] wobei [mm] a+r_1*u [/mm] ein beliebiger anderer Stützvektor der Geraden ist.
Gruß ledum
und mach doch deine Operation mal wirklich, und spiegle Fuß und Endpunkt des Vektors wirklich an der Geraden, die nicht durch 0 geht.
du verschiebst die Gerade und den Vektor um einen Stützvektor der Geraden, dann spiegelst du, dann schiebst du alles zurück.
Deine Bilder erklären wenig, du musst zum Vergleich schon wirklich einen Vektor spiegeln.
Gruß ledum
Gruß ledum
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Hallo,
du bist leider nicht auf meine zwei Fragen eingegangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 12.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
in wiki wird der Vektor und die Gerade um a verschoben, dann gespeigelt, und zwar Anfangs und Endpunkt des Vektors, am End alles zurüclgeschoben.
Ich denke das Missverständnis bei dir besteht darin, dass du einen Vektor v mit beliebigem Fußpunkt auffasst. die Spiegelung mit der matrix aber jeden Punkt der 2d Ebene spiegelt
Wenn du nur einen Vektor an einer Richtung spiegelst behält er seinen Fußpunkt, und seine Richtung wird nur geändert, das ist aber nicht gemeint.
vielleicht spiegelst du lieber mal eine geometrische Figur, z. B. ein Dreieck, dann ist klare, dass die 3 Punkte gespiegelt werden.
mein Bildchen zeigt dein beschriebenes Vorgehen,
es soll der rote Vektor u= (0.2) an der grünen Geraden gespiegelt werden, die grüne Gerade wird mit dem Vektor -a, a=(3,0) nach 0 verschoben , gespiegelt und nach deiner Idee hat man dann den blauen Vektor v, den du dann um a verschiebst also w
der grüne Vektor c ist aber die Spiegelung von u an b einfach durch die Spiegelungsregeln konstruiert (senkrechte auf Spiegel usw)
das 2 te Bild das richtige Vorgehen, wie in wiki gemeint: u wird um -a verschoben, ergibt v, Fuß und Endpunkt gespiegelt ergibt w, w um a verschoben c, das Ergebnis.
beantwortet das deine Fragen.
Vielleicht ist in wiki einfach zu wenig erwähnt, dass man Punkte spiegelt.
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß ledum
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> beantwortet das deine Fragen.
Ja deine Antwort hat mir wirklich sehr weitergeholfen danke. Die Bilder waren sehr hilfreich.
Vielleicht solltest du deine erklärung und das rechte Bild in Wikipedia einfügen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mi 22.06.2016 | | Autor: | hippias |
Manche Schwierigkeit in der Mathematik entsteht, weil man sich von der Anschauung statt einer präzisen Definition leiten lässt. Wenn ich weiss, was eine Spiegelung ist, dann ergibt sich die Vorgehensweise von selber aus der Definition. Daher würde ich vorschlagen, nocheinmal nachzuschlagen, wie ihr Spiegelung eigentlich definiert habt. Es könnte etwas ähnliches sein, wie von FRED angegeben.
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