Spiegelung an einer Geraden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Octron |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt.
Die lineare Abbildung A: [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] mit
[mm] \vektor{x1 \\ x2}\mapsto \pmat{ 0,6 & -0,8 \\ -0,8 & -0,6 }*\vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
beschreibt eine Spiegelung an der durch [mm] v=\vektor{-2 \\ 1} [/mm] beschriebenen Gerade. |
Hallo,
wie ihr seht, ist dies keine Aufgabe, sondern ein Beispiel. Das Problem bei mir ist, dass ich nciht weiß, wie man von der gegebenen Geraden auf die Matrix kommt. Ich hab es schon mit dem Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden versucht, aber dabei komme ich immer auf ein falsches Ergebnis. Wie kann ich also die Matrix bestimmen?
Vielen Dank!
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt.
> Die lineare Abbildung A: [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] mit
>
> [mm]\vektor{x1 \\ x2}\mapsto \pmat{ 0,6 & -0,8 \\ -0,8 & -0,6 }*\vektor{x1 \\ x2}[/mm]
>
> beschreibt eine Spiegelung an der durch [mm]v=\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
> beschriebenen Gerade.
Hallo,
ich weiß ja nicht, was Dir so alles zur Verfügung steht.
Ich würde zeigen, daß [mm] \vektor{-2\\1} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, und der dazu senkrechte Vektor einer zum Eigenwert -1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Octron |
Also Eigenwerte und sowas hatte ich noch nciht, das kommt erst noch. Gibt es noch einen anderen Weg das raus zu bekommen?
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> Also Eigenwerte und sowas hatte ich noch nciht, das kommt
> erst noch. Gibt es noch einen anderen Weg das raus zu
> bekommen?
Hallo,
Dir schwebt wohl eher vor, über den Neigungswinkel der Spiegelgeraden zu gehen, richtig?
Wenn Du an einer Geraden g durch den Ursprung spiegelst, deren Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] ist, so ist die zugehörige Matrix
[mm] S_g [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}. [/mm]
Berechne nun den Neigungswinkel [mm] \alpha.
[/mm]
Deine Speigelgerade hat dann den Richtungsvektor [mm] \vektor{cos \alpha\\ sin\alpha}.
[/mm]
Kommst Du nun zurecht?
Oder andersrum: berechne den Neigungswinkel der Geraden mit Richtungsvektor $ [mm] v=\vektor{-2 \\ 1} [/mm] $ und schau nach, ob Deine Spiegelmatrix dazu paßt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Octron |
Vielen Dank, jetzt hab ich es verstanden.
Bei meiner Hausaufgabe
"Bestimmen Sie die Matrix A ∈ R^(2x2) so, dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v= [mm] \vektor{3 \\ -4} [/mm] erzeugten Geraden beschreibt."
Habe ich jetzt als Matrix S = [mm] \pmat{ 0,28 & 0,96\\ 0,96 & -0,28} [/mm] raus. Das müsste dann doch jetzt so stimmen, oder?
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Hallo Octron,
falls du dich für die Herleitung der Spiegelungsmatrix,
die Angela soeben angegeben hat, interessierst, hier
eine kleine Anleitung:
Die Spiegelung an der x-Achse ist sehr leicht durch
eine Matrix [mm] S_0 [/mm] darzustellen. Um nun die Spiegelung [mm] S_{\alpha}
[/mm]
an der Geraden $\ [mm] g_{\alpha}:\ [/mm] y\ =\ [mm] x*tan(\alpha)$ [/mm] zu bekommen kann man
folgendermassen vorgehen:
1.) den an [mm] g_{\alpha} [/mm] zu spiegelnden Punkt einer
Drehung [mm] D_{-\alpha} [/mm] um den Nullpunkt $O(0/0)$
mit dem Drehwinkel [mm] -\alpha [/mm] unterwerfen
2.) den so erhaltenen Punkt mittels [mm] S_0 [/mm] an
der x-Achse spiegeln
3.) den nun erhaltenen Punkt mittels [mm] D_{\alpha} [/mm]
zurückdrehen
Insgesamt erhält man so für die Spiegelung [mm] S_{\alpha} [/mm]
die Matrix:
[mm] S_{\alpha}=D_{\alpha}*S_0*D_{-\alpha}
[/mm]
Gruß al-Chw.
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