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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 16.01.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt
[mm] <\pmat{ x1 \\ x2},\pmat{ y1 \\ y2}>:=x1y1+x2y2
[/mm]
und die lineare Abbildung
[mm] A:R^2 [/mm] → [mm] R^2
[/mm]
[mm] \pmat{ x1 \\ x2} [/mm] → [mm] A*\pmat{ x1 \\ x2}
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix A ∈ [mm] R^2,2 [/mm] so, dass die zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v erzeugten Geraden beschreibt.
Vektor v= [mm] \pmat{ -1 \\ -4} [/mm] |
Hallo,
ich habe mich gerade an obiger Aufgabe probiert und bekomme dort als Ergebnis für A das raus:
[mm] A=\pmat{ \bruch{-15}{17} & \bruch{8}{17} \\ \bruch{8}{17} & \bruch{15}{17} }
[/mm]
Der Rechenweg sah so aus, dass ich die Einheitsvektoren als Linearkombination der Vektoren v und w dargestellt habe (w= [mm] \pmat{ 4 \\ -1})
[/mm]
Nach Lösung des Gleichungssystems komme ich auf die Koeffizienten, womit dann letztlich A bestimmt werden kann. Hier ist allerdings mein Problem...
Ich habe der Einfachheit halber einfach mal ein Foto gemacht von meiner Rechnung. Das Problem ist das Minus dort. Anfangs steht dort ein +, im letzten Schritt wird jedoch ein Minus draus (Habe ich so aus dem Skript entnommen).
Warum ist das so und ist das richtig? Da die Aufgabe für mich ziemlich wichtig ist wäre ich sehr froh, wenn jemand mein Ergebnis verifizieren könnte (oder auch nicht) und mir sagt, warum dort ein Minus steht, damit ich das nachvollziehen kann.
Hier das Bild (leider wird es verkehrt herum hochgeladen?!)
http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=e60a23-1358338899.jpg
Vielen Dank vorab! :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^2[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt
> [mm]<\pmat{ x1 \\
x2},\pmat{ y1 \\
y2}>:=x1y1+x2y2[/mm]
> und die
> lineare Abbildung
>
> [mm]A:R^2[/mm] → [mm]R^2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x1 \\
x2}[/mm] → [mm]A*\pmat{ x1 \\
x2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Matrix A ∈ [mm]R^2,2[/mm] so, dass die
> zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom
> Vektor v erzeugten Geraden beschreibt.
>
> Vektor v= [mm]\pmat{ -1 \\
-4}[/mm]
> Hallo,
> ich habe mich gerade an obiger Aufgabe probiert und
> bekomme dort als Ergebnis für A das raus:
>
> [mm]A=\pmat{ \bruch{-15}{17} & \bruch{8}{17} \\
\bruch{8}{17} & \bruch{15}{17} }[/mm]
Hallo,
Dein Ergebnis ist richtig.
>
> Der Rechenweg sah so aus, dass ich die Einheitsvektoren als
> Linearkombination der Vektoren v und w dargestellt habe (w= [mm]\pmat{ 4 \\
-1})[/mm].
Richtig.
Der Vektor w ist senkrecht zur Spiegelachse.
Jetzt überlegen wir mal, was die Spiegelung [mm] \sigma_v, [/mm] die Spiegelung an v, mit v und w macht:
es ist
[mm] \sigma_v(v)=v, [/mm] denn wenn ich v spiegele, ändert sich der Vektor ja nicht,
und es ist
[mm] \sigma_v(w)=-w, [/mm] denn w klappt doch beim Spiegeln um.
Daher hat man [mm] \sigma_v(\lambda v+\mu w)=\lambda v\red{-}\mu [/mm] w.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mi 16.01.2013 | | Autor: | poeddl |
Super, vielen Dank, Du hast mir sehr geholfen! Jetzt habe ich es glaube ich kapiert! :)
Ihr seid echt spitze!
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