Sphärische Geometrie < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Sa 09.01.2010 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Das spärische Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Spitze C. Es ist [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = 80°.
Das Dreieck bedeckt einen Zehntel der Kugeloberfläche.
a) Wie gross ist der Winkel [mm] \gamma?
[/mm]
b) Die drei Grosskreise, welche das Dreieck ABC beranden, zerlegen die Kugeloberfläche in insgesamt acht spärische Dreiecke (eines davon ist das Dreieck ABC). Welche Anteile der Kugeloberfläche bedecken die einzelnen Dreiecke? |
Guten Morgen
Ich komme bei diesen Aufgaben nicht draus. Deshalb wäre ich froh, wenn mir jemand helfen könnte. Für eure Antworten danke ich bereits jetzt.
Folgende Überlegung habe ich zu a) gemacht:
A = 4r [mm] \pi
[/mm]
=> 1/10 = 4r [mm] \pi [/mm]
1/(10 * 4 [mm] *\pi) [/mm] = r = 0.0079577
Ich weiss aus meinen Unterlagen, dass gilt:
f(ABC) = [mm] r^2(\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] - [mm] \pi)
[/mm]
=> [mm] f(ABC)/r^2 [/mm] - [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] + [mm] \pi [/mm] = [mm] \gamma
[/mm]
[mm] 0.1/0.0079577^2 [/mm] - 80° - 80° [mm] +\pi [/mm] = [mm] \gamma
[/mm]
80° = [mm] 80/360*2\pi [/mm] = 1.396263
=> [mm] 0.1/0.0079577^2 [/mm] - 2*1.396263 [mm] +\pi [/mm] = [mm] \gamma
[/mm]
1579.50448 = [mm] \gamma
[/mm]
tja, irgendwo liegt gewaltig der Wurm drin... entweder ist es morgen "früh" oder ich stehe total auf der Leitung... [mm] \gamma [/mm] müsste 92° sein
zu b)
wie komme ich da auf ein vernünftiges Resultat? Ich weiss mindestens das gegenüberliegende Dreieck ist kongruent, also auch 1/10. aber wie finde ich die anderen heraus?
|
|
| |
|
> Das spärische Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der
> Spitze C. Es ist [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = 80°.
> Das Dreieck bedeckt einen Zehntel der Kugeloberfläche.
>
> a) Wie gross ist der Winkel [mm]\gamma?[/mm]
> b) Die drei Grosskreise, welche das Dreieck ABC beranden,
> zerlegen die Kugeloberfläche in insgesamt acht spärische
> Dreiecke (eines davon ist das Dreieck ABC). Welche Anteile
> der Kugeloberfläche bedecken die einzelnen Dreiecke?
>
> Ich komme bei diesen Aufgaben nicht draus. Deshalb wäre
> ich froh, wenn mir jemand helfen könnte. Für eure
> Antworten danke ich bereits jetzt.
>
> Folgende Überlegung habe ich zu a) gemacht:
>
> A = 4r [mm]\pi[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das muss heißen [mm] 4\,r^2\,\pi [/mm] !
Und: am besten setzt du für diese Aufgabe einfach r=1 !
> => 1/10 = 4r [mm]\pi[/mm]
> Ich weiss aus meinen Unterlagen, dass gilt:
>
> f(ABC) = [mm]r^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] \gamma [/mm] müsste 92° sein
>
> zu b)
>
> wie komme ich da auf ein vernünftiges Resultat? Ich weiss
> mindestens das gegenüberliegende Dreieck ist kongruent,
> also auch 1/10. aber wie finde ich die anderen heraus?
Es sind auch immer je 2 gegenüberliegende kongruent.
Mach dir eine gute Zeichnung, bezeichne die Ecken syste-
matisch und überleg dir dann die Winkel. Die Winkel,
welche sich an einer Ecke zusammenfügen, ergeben
stets 360° oder [mm] 2\,\pi [/mm] .
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Sa 09.01.2010 | | Autor: | kilchi |
Mhh... das ist allerdings ein hohle Fehler... Trotzdem komme ich nicht auf ein schlaues Resultat? Wo mache ich einen Fehler
A = [mm] 4r^2\pi
[/mm]
=> 0.1 = 4 [mm] r^2 \pi [/mm] => r = 0.089
[mm] \alpha [/mm] = 80° = 1.396
Anschliessend in die Formel einsetzen:
0.1 = [mm] 0.089^2 [/mm] ( 1.396 + 1.396 + [mm] \gamma [/mm] - [mm] \pi)
[/mm]
wenn ich das auflöse gibt es [mm] \gamma [/mm] = 12.91 und das müsste ich dann noch in Grad umwandeln... aber da [mm] 2\pi [/mm] ja schon kleiner ist als 12.91 wie komme ich dann auf 92°?
|
|
|
| |
|
> Mhh... das ist allerdings ein hohle Fehler... Trotzdem
> komme ich nicht auf ein schlaues Resultat? Wo mache ich
> einen Fehler
>
> A = [mm]4\,r^2\pi[/mm]
>
> => 0.1 = 4 [mm]r^2 \pi[/mm] => r = 0.089
>
> [mm]\alpha[/mm] = 80° = 1.396
>
> Anschliessend in die Formel einsetzen:
>
> 0.1 = [mm]0.089^2[/mm] ( 1.396 + 1.396 + [mm]\gamma[/mm] - [mm]\pi)[/mm]
>
> wenn ich das auflöse gibt es [mm]\gamma[/mm] = 12.91 und das
> müsste ich dann noch in Grad umwandeln... aber da [mm]2\pi[/mm] ja
> schon kleiner ist als 12.91 wie komme ich dann auf 92°?
Hallo kilchi,
ich sagte schon: setze r=1 !
Dann ist [mm] 4\,\pi [/mm] die Oberfläche der gesamten Kugel.
Die Fläche des Kugeldreiecks ABC ist ein Zehntel
davon, also [mm] F_{ABC}=0.4\,\pi [/mm] . Und nun gilt:
$\ [mm] F_{ABC}=\alpha+\beta+\gamma-\pi$
[/mm]
Nach [mm] \gamma [/mm] aufgelöst:
$\ [mm] \gamma\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{F_{ABC}}_{0.4*180^{\circ}}+\underbrace{\pi}_{180^{\circ}}-\underbrace{(\alpha+\beta)}_{160^{\circ}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Sa 09.01.2010 | | Autor: | kilchi |
Ah, logisch... besten Dank für deine Antworten!
|
|
|
|
