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Forum "Topologie und Geometrie" - Sphäre und Ebene
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Sphäre und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Mi 30.12.2015
Autor: Laura22

Hallo! :)

Ich habe mich gerade gefragt, ob für ein x [mm] \in \IR^n [/mm] die Räume [mm] \IR^n-{x} [/mm] und [mm] S^{n-1} [/mm] (="Einheitssphäre mit Mittelpunkt x") homöomorph sind. Dazu habe ich die folgende Abbildung definiert:

[mm] h:\IR^n-{x} \to S^{n-1} [/mm] ,
y [mm] \mapsto \bruch{y-x}{\parallel y-x\parallel} [/mm]

(a) Stetigkeit: klar als Komposition stetiger Abb.
Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist. Ich komme mir gerade wahnsinnig doof vor, aber sieht jemand die Umkehrabbilung zu h auf einen Blick?

viele Grüße,
Laura

        
Bezug
Sphäre und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Mi 30.12.2015
Autor: hippias


> Hallo! :)
>  
> Ich habe mich gerade gefragt, ob für ein x [mm]\in \IR^n[/mm] die
> Räume [mm]\IR^n-{x}[/mm] und [mm]S^{n-1}[/mm] (="Einheitssphäre mit
> Mittelpunkt x") homöomorph sind. Dazu habe ich die
> folgende Abbildung definiert:
>  
> [mm]h:\IR^n-{x} \to S^{n-1}[/mm] ,
> y [mm]\mapsto \bruch{y-x}{\parallel y-x\parallel}[/mm]
>  
> (a) Stetigkeit: klar als Komposition stetiger Abb.

O.K.

>  Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass die Abbildung
> bijektiv ist.

Untersuche bitte $h$ auf einer Geraden durch $x$.

> Ich komme mir gerade wahnsinnig doof vor,
> aber sieht jemand die Umkehrabbilung zu h auf einen Blick?
>  
> viele Grüße,
>  Laura


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Sphäre und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mi 30.12.2015
Autor: Laura22

Danke für deinen Hinweis! Habe nun also eine Gerade durch x und einen beliebigen Punkt z genommen: x + t(z-x) und darauf h angewendet. Man sieht dann, dass h(x + t(z-x))=h(z) für alle t [mm] \in \IR-{0}. [/mm] Also wird jeder Punkt einer Geraden unter h auf ein und denselben Punkt der Sphäre abgebildet. Das bedeutet, dass meine Abbildung also nicht injektiv sein kann...wie sieht der Homöomorphismus denn dann aus?

Bezug
                        
Bezug
Sphäre und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mi 30.12.2015
Autor: hippias


> Danke für deinen Hinweis! Habe nun also eine Gerade durch
> x und einen beliebigen Punkt z genommen: x + t(z-x) und
> darauf h angewendet. Man sieht dann, dass h(x +
> t(z-x))=h(z) für alle t [mm]\in \IR-{0}.[/mm] Also wird jeder Punkt
> einer Geraden unter h auf ein und denselben Punkt der
> Sphäre abgebildet.

Das ist nicht richtig.

> Das bedeutet, dass meine Abbildung also
> nicht injektiv sein kann...

Trotzdem richtig.

> wie sieht der Homöomorphismus
> denn dann aus?

Versuche einen anderen Ansatz.

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Bezug
Sphäre und Ebene: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:27 Mi 30.12.2015
Autor: Laura22


> Versuche einen anderen Ansatz.

Naja, genau der fehlt ja. Ich frage mich langsam, ob die beiden überhaupt homöomorph sind...

Bezug
                                        
Bezug
Sphäre und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Mi 30.12.2015
Autor: hippias

Das ist doch ein anderer Ansatz...

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Bezug
Sphäre und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mi 30.12.2015
Autor: Laura22

Ok, also sind sie scheinbar nicht homöomorph (weil in wahrscheinlich meistens dann die Injektivität nicht klappt). Sind sie denn vielleicht homotopieäquivalent?

Bezug
                                                        
Bezug
Sphäre und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:36 Do 31.12.2015
Autor: hippias

Wie lauetet die Definition der Homotopieäquivalenz? Ist die Bedingung erfüllt?

Bezug
                                                        
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Sphäre und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Do 31.12.2015
Autor: Ladon

Hallo Laura,

was Homotopieäquivalenz betrifft, so kannst du etwas besseres finden. Jeder Deformationsretract ist eine Homotopieäquivalenz.
Du kannst sehr einfach zeigen, dass [mm] $R^n\setminus x\simeq S^{n-1}$ [/mm] homotopieäquivalent via Deformationsretraktion [mm] ($S^{n-1}$ [/mm] ist Deformationsretrakt von [mm] $R^n\setminus [/mm] x$) sind. Anschaulich musst du dir überlegen, wie du die Punkte "fließen" lässt. Ich folge bei meinen Definitionen Hatcher.

LG
Ladon

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Sphäre und Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Do 31.12.2015
Autor: Laura22

Hallo!

Danke für die vielen Hilfestellungen. Ich habe nun etwas gesucht und im Buch Algebraic topology von Hatcher die Definition eines Deformationsretraktes gefunden. Anschaulich ist das scheinbar schlicht das Zusammenziehen des in meinem Falle gegebenen Raumes [mm] \IR^n [/mm] -{x} auf die Sphäre mit Mittelpunkt x. Die gesuchte Homotopie würde ich jetzt folgendermaßen aufschreiben:
[mm] H:\IR^n [/mm] -{x} [mm] \times [/mm] I  [mm] \to \IR^n [/mm] -{x}
(y,t) [mm] \mapsto [/mm] (1-t)y + t [mm] \frac{y-x}{\parallel y-x \parallel} [/mm]
Damit ziehe ich dann jeden Punkt linear auf einer Geraden auf die Sphäre zurück. Es gilt:
H(y,0)=y = [mm] id_{\IR^n -{x}}(y) [/mm]
[mm] H(y,1)=\frac{y-x}{\parallel y-x \parallel}. [/mm]
Für y [mm] \in S^{n-1} [/mm] gilt insbesondere [mm] H(y,t)=y=id_{S^{n-1}}(y). [/mm]
Geht das so in Ordnung?

Viele Grüße und guten Rutsch,
Laura

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Bezug
Sphäre und Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Fr 01.01.2016
Autor: Ladon

Hallo Laura,

du kannst es sogar noch vereinfachen und o.E. annehmen $x=0$. Ich denke die Stetigkeit der Abbildung ist dir klar.
Deformationsretrakte machen genau das, was du anschaulich beschrieben hast. Wenn du weiter in algebraischer Topologie voranschreitest, ist es m.E. wichtig sich diese anschauliche Vorstellung zu erhalten.

Liebe Grüße,
Ladon

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Sphäre und Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Fr 01.01.2016
Autor: Laura22

Hey,

ja richtig, die Stetigkeit ist klar. :) Dann danke ich dir/euch nochmal!!!

Liebe Grüße,
Laura

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Sphäre und Ebene: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 01.01.2016
Autor: matux

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