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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Hallo :),
ich habe versucht zu zeigen, dass [mm] SL_2(Z_2) [/mm] isomorph zur symmetrischen Gruppe [mm] S_3 [/mm] ist. Nun weiß ich, dass [mm] |SL_2(Z_2)| [/mm] = 6 = [mm] |S_3|, [/mm] d.h. [mm] SL_2(Z_2) [/mm] ist isomorph zu [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_3 [/mm] oder zu [mm] S_3. [/mm] Nach chinesischem Restsatz ist [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_3 [/mm] isomorph zu [mm] Z_6, [/mm] was abelsch ist. Demnach bleibt nur noch [mm] S_3 [/mm] als Möglichkeit, denn auch [mm] SL2(Z_2) [/mm] ist nicht abelsch, was man schnell am Beispiel zeigen kann. Nun hat mich ein Kommilitone aber arg verunsichert, denn er meinte, dass [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_3 [/mm] isomorph zu [mm] S_3 [/mm] ist?!? Was ist nun richtig?
Weiß jemand Rat? Vielen Dank schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 14.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> ich habe versucht zu zeigen, dass [mm]SL_2(Z_2)[/mm] isomorph zur
> symmetrischen Gruppe [mm]S_3[/mm] ist. Nun weiß ich, dass
> [mm]|SL_2(Z_2)|[/mm] = 6 = [mm]|S_3|,[/mm] d.h. [mm]SL_2(Z_2)[/mm] ist isomorph zu [mm]Z_2[/mm]
> x [mm]Z_3[/mm] oder zu [mm]S_3.[/mm] Nach chinesischem Restsatz ist [mm]Z_2[/mm] x [mm]Z_3[/mm]
> isomorph zu [mm]Z_6,[/mm] was abelsch ist. Demnach bleibt nur noch
> [mm]S_3[/mm] als Möglichkeit, denn auch [mm]SL2(Z_2)[/mm] ist nicht abelsch,
> was man schnell am Beispiel zeigen kann. Nun hat mich ein
> Kommilitone aber arg verunsichert, denn er meinte, dass [mm]Z_2[/mm]
> x [mm]Z_3[/mm] isomorph zu [mm]S_3[/mm] ist?!? Was ist nun richtig?
Dein Beweis setzt natürlich voraus, daß es bis auf Isom. nur 2 Gruppen der Ordnung 6 gibt. Vielleicht kannst du den Isomorphismus auch explizit angeben.
Der Einwand deines Kommilitonen greift nicht, weil er falsch ist. [mm] S_3 [/mm] ist nicht-abelsch, übrigens die kleinste von der Sorte.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Hallo nochmal. Vielen Dank für deine rasche Antwort!
Wir haben eine Klassifikationen von Gruppen kleiner Ordnung (bis Ordnung 12) in der Vorlesung erstellt. Daher ist mir das bekannt.
Den Isomorphismus kann ich alternativ einfach angeben, indem ich Erzeuger auf Erzeuger schicke.
* [mm] SL2(Z_2) [/mm] wird erzeugt von einer Spiegelung und einer Drehung, d.h.
[mm] SL2(Z_2) [/mm] = [mm] .
[/mm]
* [mm] S_3 [/mm] wird erzeugt durch zwei Transpositionen, d.h.
[mm] S_3=<(12),(23)>.
[/mm]
D.h. der Isomorphismus ist gegeben durch
[mm] SL2(Z_2) \to S_3
[/mm]
s [mm] \mapsto \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
t [mm] \mapsto \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }.
[/mm]
Nun hätte man also Erzeuger auf Erzeuger geschickt, so dass die Abbildung surjektiv ist. Der Kern ist ebenfalls trivial, daher injektiv.
Die Frage, die sich noch stellt ist: Ist die Abbildung denn überhaupt wohldefiniert?
In unserer Übung wurde uns gesagt, dass man noch sts=tst nachprüfen muss. Weiß jemand, warum das noch zu zeigen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 14.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal. Vielen Dank für deine rasche Antwort!
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> Wir haben eine Klassifikationen von Gruppen kleiner Ordnung
> (bis Ordnung 12) in der Vorlesung erstellt. Daher ist mir
> das bekannt.
> Den Isomorphismus kann ich alternativ einfach angeben,
> indem ich Erzeuger auf Erzeuger schicke.
>
> * [mm]SL2(Z_2)[/mm] wird erzeugt von einer Spiegelung und einer
> Drehung, d.h.
> [mm]SL2(Z_2)[/mm] = [mm].[/mm]
>
> * [mm]S_3[/mm] wird erzeugt durch zwei Transpositionen, d.h.
> [mm]S_3=<(12),(23)>.[/mm]
>
> D.h. der Isomorphismus ist gegeben durch
> [mm]SL2(Z_2) \to S_3[/mm]
> s [mm]\mapsto \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> t
> [mm]\mapsto \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }.[/mm]
Ich nehme an, es soll $s [mm] \mapsto [/mm] (12)$ und $t [mm] \mapsto [/mm] (23)$ heissen.
>
> Nun hätte man also Erzeuger auf Erzeuger geschickt, so
> dass die Abbildung surjektiv ist. Der Kern ist ebenfalls
> trivial, daher injektiv.
>
> Die Frage, die sich noch stellt ist: Ist die Abbildung denn
> überhaupt wohldefiniert?
Sehr richtig.
>
> In unserer Übung wurde uns gesagt, dass man noch sts=tst
> nachprüfen muss. Weiß jemand, warum das noch zu zeigen
> ist?
Ich nehme an, dass diese Geleichung nuetzlich fuer den Nachweis der Wohldefiniertheit ist: Wenn man zwei Darstellungen eines [mm] $g\in SL_{2}(\IZ_{2})$ [/mm] als Produkte von $s$ und $t$ hat, dann laesst sich durch Anwendung dieser Relation nachweisen, dass die entsprechenden Produkte auch in [mm] $S_{3}$ [/mm] gleich sind.
Probiere es einmal aus. Wenn es nicht gelingt, findest Du vielleicht einen eigenen Nachweis fuer die Wohldefiniertheit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Ok, hab es ausmultipliziert und es funktioniert.
Also vom Grundverständnis her verstehe ich glaube ich, was es heißt, wenn man von Wohldefiniertheit bei solchen Abbildungen spricht. Es reicht nicht nur die Erzeuger gegenseitig abzubilden. Man muss schon darauf achten, dass auch die Beziehung zwischen den Erzeugern selbst von der einen auf die andere Seite übertragen wird...
Warum das gerade sts=tst ist und nicht etwa noch andere Kombinationen von s und t, kann ich nach wie vor nicht so ganz herleiten, aber vielleicht frage ich da vor Ort bei uns besser noch mal nach. Jedenfalls großen Dank. Bringt mir immer wieder viel darüber zu schreiben! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Sa 14.02.2015 | | Autor: | hippias |
Mir ist noch eingefallen: Vielleicht bezieht es sich auf Diedergruppen. [mm] $S_{3}$ [/mm] und [mm] $SL_{2}(\IZ_{2})$ [/mm] sind Diedergruppen der Ordnung $6$. Dafuer waere die Relation brauchbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Orchis |
Richtig!!! Super Tipp. Ich denke das soll sowas sein wie: Wenn man Spiegelung, Drehung, Spiegelung ausführt muss das das selbe sein wie Drehung Spiegelung Drehung! Hab gerade nochmal nachgeguckt. Diese Relation hat man da tatsächlich! :)
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Wenn man es explizit haben möchte, könnte man ja auch einfach die Klassifikation der Gruppen der Ordnung 6 an diesem Beispiel wiederholen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjejt
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