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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 26.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Ich wollte nur mal fragen ob jemand weiß, wie man auf die speziellen Partitialsummen gekommen ist.
Also z.B. die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i²=1+4+9+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Gibt es dafür eine recht simple Erklärung?
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Moin zusammen,
man könnte ansetzen:
[mm] \sum_{i=0}^ni^k [/mm] = p(n)
für ein Polynom p(n) vom grad k+1, also
[mm] p(n)=\sum_{j=0}^{k+1}a_j\cdot n^j,
[/mm]
dann ist das durch die k+1 Koeffizienten [mm] a_0,\ldots [/mm] , [mm] a_{k+1} [/mm] eindeutig bestimmt, und
wenn man die Summe für [mm] n=0,1,\ldots [/mm] k explizit ausrechnet, erhält man ein lieares Gleichungssystem für die Koeffizienten [mm] a_i.
[/mm]
Bsp: k=2:
[mm] 1^2 [/mm] =1
[mm] 1^2+2^2 [/mm] = 5
[mm] 1^2+2^2+3^2=14
[/mm]
[mm] 1^2+\ldots +4^2=14+16=30
[/mm]
[mm] p(n)=a_0+a_1n+a_2n^2+a_3n^3
[/mm]
p(1)=1= [mm] a_0+a_1+a_2+a_3
[/mm]
[mm] p(2)=5=a_0+2a_1+2^2a_2+2^3a_3
[/mm]
[mm] p(3)=14=a_0+3a_1+9a_2+27a_3
[/mm]
[mm] p(4)=\ldots [/mm]
und dann dieses LGS nach [mm] a_0,a_1,a_2,a_3, [/mm] auflösen.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Di 26.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Danke für die Antwort! Aber leider kann ich damit nicht so viel anfangen, auch wenn es für dich sehr einfach formuliert ist.
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