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| Aufgabe | | Bestimme alle [mm] $A\in\IR^{nxn}$ [/mm] mit [mm] $A^T=A$ [/mm] und einem einzigen Eigenwert c. |
Ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
Zunächst einmal zur Klarmachung (meinem Verständnis) der Aufgabenstellung.
Gesucht sind alle [mm] $A\in\IR^{nxn}$, [/mm] die die Eigenschaften erfüllen:
(i) [mm] $A^T=A$
[/mm]
(ii) Das charakteristische Polynom besitzt nur einen Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] := c$
Da alle A gesucht sind, sind Fallunterscheidungen nicht ausgeschlossen beziehungsweise verlangt, oder?
Meine ersten Gedanken zu den Kriterien:
zu (i)
Soll für A gelten: [mm] $A^T=A$, [/mm] dann kann A nur symmetrisch sein, meint alle Einträge der Matrix müssen gespiegelt an der Hauptdiagonale auftreten.
zu (ii)
Hier bin ich mir nicht ganz so sicher, wann dies der Fall für [mm] $A\in\IR^{nxn}$ [/mm] ist.
Eine erste Idee war, dass die Dimension der Matrix A = 1 ist. Aber dann würde für das charakteristische Polynom ja gerade kein Eigenwert entstehen, da dies bedeuten würde, dass A eine Nullzeile hat, stimmt das so für alle [mm] $A\in\IR^{nxn}$?
[/mm]
Eine andere Idee: Im Grunde bedeutet die Aufgabenstellung ja auch, dass das char. Polynom mehrere nicht unterschiedliche [mm] $\lamdba$ [/mm] hat (richtig?) oder eben nur genau ein [mm] $\lamdba$.
[/mm]
Ich würde mich über eure Hilfe, Hinweise, Ansätze und Meinungen zu meinen Ideen freuen.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Abend
> Bestimme alle [mm]A\in\IR^{nxn}[/mm] mit [mm]A^T=A[/mm] und einem einzigen
> Eigenwert c.
> Ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
>
> Zunächst einmal zur Klarmachung (meinem Verständnis) der
> Aufgabenstellung.
>
> Gesucht sind alle [mm]A\in\IR^{nxn}[/mm], die die Eigenschaften
> erfüllen:
> (i) [mm]A^T=A[/mm]
> (ii) Das charakteristische Polynom besitzt nur einen
> Eigenwert [mm]\lambda := c[/mm]
>
Ein charakteristisches Polynom hat keinen Eigenwert, quadratische Matrizen haben Eigenwerte. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
> Da alle A gesucht sind, sind Fallunterscheidungen nicht
> ausgeschlossen beziehungsweise verlangt, oder?
>
Eine Fallunterscheidung ist hier nicht nötig.
> Meine ersten Gedanken zu den Kriterien:
>
> zu (i)
> Soll für A gelten: [mm]A^T=A[/mm], dann kann A nur symmetrisch
> sein, meint alle Einträge der Matrix müssen gespiegelt an
> der Hauptdiagonale auftreten.
Das ist korrekt.
>
> zu (ii)
> Hier bin ich mir nicht ganz so sicher, wann dies der Fall
> für [mm]A\in\IR^{nxn}[/mm] ist.
> Eine erste Idee war, dass die Dimension der Matrix A = 1
> ist. Aber dann würde für das charakteristische Polynom ja
> gerade kein Eigenwert entstehen, da dies bedeuten würde,
> dass A eine Nullzeile hat, stimmt das so für alle
> [mm]A\in\IR^{nxn}[/mm]?
Das ist nicht richtig. Was soll den die Dimension einer Matrix sein?
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> Eine andere Idee: Im Grunde bedeutet die Aufgabenstellung
> ja auch, dass das char. Polynom mehrere nicht
> unterschiedliche [mm]\lamdba[/mm] hat (richtig?) oder eben nur genau
> ein [mm]\lamdba[/mm].
Wenn du mit [mm] $\lambda$ [/mm] die Nullstellen des charakteristischen Polynoms meinst, ist das richtig. Überleg dir mal wie das charakteristische Polynom für eine Matrix $A$ aussieht, welche nur einen Eigenwert $c$ besitzt.
Weiter hattet ihr bestimmt einen Satz darüber, wie es mit der Diagonalisierbarkeit von symmetrischen, reellen Matrizen aussieht. Den braucht man hier.
Viele Grüße
Blasco
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> Ich würde mich über eure Hilfe, Hinweise, Ansätze und
> Meinungen zu meinen Ideen freuen.
>
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 26.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Ein Satz der Vorlesung besagt: "Alle Eigenwerte von [mm] A\in \IR^{nxn} [/mm] mit [mm] A^T=A [/mm] sind reell, somit gilt: [mm] X_{A}=\produkt_{i=1}^{n}(x-\lambda_{i}) [/mm] . "
Wenn es nur einen einzigen Eigenwert gibt, vereinfacht sih die Formel zu : [mm] X_{A}=x-\lambda
[/mm]
Eigenwerte sind die Nullstellen von [mm] X_{A}, [/mm] d.h. es ergibt sich [mm] \lambda=x
[/mm]
Was kann ich nun damit anfangen? Weiß jemand, inwiefern das mit der Dimension zu tun hat?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:01 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
A ist symmetrisch, also diagonalisierbar.
Somit ex. eine Basis [mm] b_1,...,b_n [/mm] des [mm] \IR^n [/mm] aus Eigenvektoren von A.
Damit ist [mm] Ab_j=cb_j [/mm] für jedes j.
Folgere daraus: Ax=cx für jedes x [mm] \in \IR^b.
[/mm]
Fazit: A=cE
FRED
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> A ist symmetrisch, also diagonalisierbar.
Das gilt für alle A symmetrisch über [mm] $\IC^{nxn}$, [/mm] richtig?
> Folgere daraus: Ax=cx für jedes x [mm]\in \IR^b.[/mm]
Wieso jetzt [mm] $\IR^b$?
[/mm]
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> > A ist symmetrisch, also diagonalisierbar.
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> Das gilt für alle A symmetrisch über [mm]\IC^{nxn}[/mm], richtig?
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> > Folgere daraus: Ax=cx für jedes x [mm]\in \IR^b.[/mm]
>
> Wieso jetzt [mm]\IR^b[/mm]?
Hallo,
das ist ein Tippfehler.
Natürlich ist [mm] \IR^n [/mm] gemeint.
LG Angela
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