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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:31 Mo 21.01.2008 | | Autor: | BertanARG |
| Aufgabe | [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{2}=\wurzel{p(A^{T}A)} [/mm] sei die Spektralnorm
[mm] cond_{2}(A)=\parallel [/mm] A [mm] \parallel_{2} \cdot \parallel A^{-1} \parallel_{2} [/mm] |
Hallo,
mit den obigen Definitionen kann ich mir zwar grob was vorstellen, allerdings würde ich gerne wissen wie man die Norm und die Kondition einer Matrix damit nun direkt berechnen kann.
Ich hoffe, das kann mir jemand zeigen, denn in meinen Unterlagen finde ich keine Beispiele zu den Rechnungen.
[mm] A=\pmat{ 0.001 & 0.001 \\ 1 & 2 }
[/mm]
[mm] L=\pmat{ 1 & 0 \\ 1000 & 1 }
[/mm]
[mm] R=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Könnte mir jemand eine Beispielrechnung zur Berechnung der Kondition [mm] cond_2 [/mm] dieser Matrizen hier zeigen?
Danke schon mal
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Ich will dir mal anhand des Beispiels der Matrix A die Kondition berechnen, die restlichen Matrizen überlass ich dir zur Übung:
Zuerst mal brauchst du ein paar Grundlagen:
Ausgangsmatrix: A= [mm] \pmat{ 0,001 & 0,001 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Transponierte: [mm] A^t [/mm] = [mm] \pmat{ 0,001 & 1 \\ 0,001 & 2}
[/mm]
Inverse: [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1000 & -1 \\ -1000 & 1}
[/mm]
Produkt aus [mm] A^t [/mm] und A (eigentlich muss es sich bei der Spektralnorm um das Produkt aus der Ajungierten Matrix A und A handeln, da die Matrix reel ist, reicht aber in diesem Fall die Transponierte):
[mm] A^t*A [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 1}
[/mm]
Charakteristisches Polynom von [mm] A^t*A [/mm] (zur Feststellung der Eigenwerte):
[mm] {\lambda}^2 [/mm] - [mm] \lambda
[/mm]
Eigenwerte: EW1: 0 EW2: 1
Maximaler Eigenwert ist damit 1
Also [mm] ||A||_2 [/mm] = [mm] \wurzel(1) [/mm] = 1
Das gleiche Spielchen jetzt für [mm] A^{-1}
[/mm]
[mm] A^{-t}*A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 2000000 & -2000 \\ -2000 & 2 }
[/mm]
CP: [mm] {\lambda}^2 [/mm] - 2000002 [mm] \lambda
[/mm]
Eigenwerte:
EW1: 0 EW2: 2000002
Maximaler Eigenwert: 2000002
Also [mm] ||A^{-1}||_2=\wurzel{2000002}
[/mm]
Kondition: [mm] cond_2 [/mm] (A) = [mm] 1*\wurzel{2000002}
[/mm]
Also eigentlich alles genau nach Definiton machen, dann hauts auch hin ^^.
Hoffe nur ich hab mich jetzt nicht irgendwo verechnet...
Viele Grüße,
Jörg
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Hi,
danke, jetzt kann ich es anwenden. Nun habe ich jedoch eine neue Frage, die sich auf die Kondition symmetrischer Tridiagonalmatrizen bezieht.
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & & & 0 \\ 1 & 4 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 4 & 1 \\ 0 & & & 1 & 2}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 4 & 1 & & & 0 \\ 1 & 4 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 4 & 1 \\ 0 & & & 1 & 4}
[/mm]
Gemäß dem Satz von Gerschgorin müssten die Eigenvektoren der Matrizen in den folgenden Intervallen liegen...
a) [1,6]
b) [1,6]
Da [mm] M^T=M [/mm] für alle Matrizen gilt, gilt für die Spektralnorm, dass der Wert dem maximalen Eigenwert der einfachen Matrizen A und B entspricht. (Das Quadrat der Matrizen wird durch die Wurzel in der Norm wieder zurückgenommen!)
Also müsste doch
[mm] cond_{2}(A) \leq [/mm] 6
[mm] cond_{2}(B) \leq [/mm] 6
gelten.
In meinem Skript steht jedoch...
[mm] cond_{2}(A) \leq [/mm] 3
[mm] cond_{2}(B) \leq [/mm] 6
Okay, ich sehe meinen Denkfehler gerade selbst.
[mm] cond_{2}(A) [/mm] = [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel \cdot \parallel A^{-1} \parallel
[/mm]
[mm] cond_{2}(B) [/mm] = [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel \cdot \parallel B^{-1} \parallel
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] cond_{2} [/mm] (A) = 2.5274 und [mm] cond_{2} [/mm] (B) = 3.8664, bei 5x5-Matrizen. Ich vermute, dass cond(B) für höherdimensionale Matrizen noch gegen 6 wandern wird.
Allerdings würde ich dennoch gerne wissen, ob ich anhand der Matrix die Kondition schon ohne Berechnung von [mm] A^{-1} [/mm] abschätzen kann?
Ich habe demnächst eine mündliche Prüfung, und wenn ich nach der Kondition gefragt werde muss ich sie ja ggf. auch bestimmen und nicht nur nennen.
Grüße und danke schon mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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