Spatprodukt, Vektorprodukt (2) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{c}=\vektor{3 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Bestimmen Sie das Vektorprodukt [mm] \vec{a} \times \vec{b}, [/mm] das Volumen des Spats, das durch die drei Vektoren aufgespannt wird und die Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] entlang des Vektor [mm] \vec{a}. [/mm] |
meine vorgehensweise:
[mm] \vec{a} \times \vec{b}:
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} \times \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] =
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Volumen = Spatprodukt:
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 }=1
[/mm]
Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] entlang des Vektors [mm] \vec{a}:
[/mm]
Formel: [mm] |\vec{b}|_{\vec{a}}=|\vec{b}|*cos(\alpha)=\bruch{\vec{b}*\vec{a}}{|\vec{a}|}=\vec{b}*\vec{a_0}
[/mm]
[mm] |\vec{b}|_{\vec{a}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=1
[/mm]
richtig gelöst?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 02.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
> > [mm]|\vec{b}|_{\vec{a}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=1[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") müsste [mm]= 5/3[/mm] sein (aber nur kleiner Rechenfehler).
>
[mm] \bruch{5}{3} [/mm] würd ich rausbekommen wenn ich rechnen würde: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3} [/mm]
aber den betrag eines vektors rechne ich mit [mm] |\vec{a}|=\wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
[/mm]
somit wäre [mm] |\vec{b}|_{\vec{a}}=\wurzel{(\bruch{1}{3})^2+(\bruch{2}{3})^2+(\bruch{2}{3})^2}=1
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > [mm]|\vec{b}|_{\vec{a}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=1[/mm]
>
> >
> > müsste [mm]= 5/3[/mm] sein (aber nur kleiner Rechenfehler).
> >
>
>
> [mm]\bruch{5}{3}[/mm] würd ich rausbekommen wenn ich rechnen würde:
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dies ist der Wert des Ausdrucks (des Skalarproduktes), das Du hingeschrieben hast (die Länge der orthgonalen Projektion von [mm] $\vec{b}$ [/mm] auf die Richtung von [mm] $\vec{a}$, [/mm] inklusive Vorzeichen), also
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\pmat{1/3\\2/3\\2/3}=\frac{5}{3}[/mm]
Aber es ist doch ganz klar, dass
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}\neq 1[/mm]
Ich denke, darüber sind wir uns im Grunde einig: nur stellt sich die Frage, weshalb Du dennoch weiterhin hartnäckig behauptest, dass
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}= 1[/mm]
sei! Schreib doch auf der rechten Seite eines Gleichheitszeichen nach der Berechnung der linken Seite einfach das Ergebnis dieser Berechung hin - und nicht irgend etwas anderes, das aus irgendwelchen anderen, nicht explizit spezifizierten Rechenschritten resultiert.
> aber den betrag eines vektors rechne ich mit
> [mm]|\vec{a}|=\wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}[/mm]
>
> somit wäre
> [mm]|\vec{b}|_{\vec{a}}=\wurzel{(\bruch{1}{3})^2+(\bruch{2}{3})^2+(\bruch{2}{3})^2}=1[/mm]
Was Du hier berechnest ist in Wahrheit [mm] $|\vec{a}_0|=\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}=1$, [/mm] eine Trivialität, die mit dem Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] und seiner orthogonalen Projektion auf die Richtung von [mm] $\vec{a}$ [/mm] überhaupt nichts zu tun hat.
Ich glaube, dass die Schreibweise [mm] $|\vec{b}|_{\vec{a}}$ [/mm] für das, was Du laut Aufgabenstellung berechnen sollst, falsch ist. Entweder berechnest Du wie oben [mm] $b_{\vec{a}}$, [/mm] ergibt $5/3$. Oder Du berechnest [mm] $\vec{b}_{\vec{a}}=\frac{5}{3}\vec{a}_0$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 02.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ah gut ich versteh jetzt, ich war nur vollkommen durcheinander weil da stand ja [mm] |\vec{b}| [/mm] und ich dann immer daran denken musste wie sich der betrag eines vektors ergibt, aber wenn man die formel ja weiter verfolg dann steht da das man zwei vektoren miteinander multipliziert also ein skalarprodukt erhält. sorry, muss das bei mir erst alles noch vernünftig einordnen.
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