Spann und direkte Zerlegung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien [mm] \vec{u}_1^{T} [/mm] = (1, 1, 1), [mm] \vec{u}_2^{T} [/mm] = (1, 1, 0), [mm] \vec{u}_3^{T} [/mm] = (0, 0, 1) und [mm] \vec{u}_4^{T} [/mm] = (0, 1, 0). Zeigen Sie
span{ [mm] \vec{u}_1, \vec{u}_2 [/mm] } + span{ [mm] \vec{u}_3, \vec{u}_4 [/mm] } = span{ [mm] \vec{u}_1, \vec{u}_2 [/mm] } [mm] \oplus [/mm] span{ [mm] \vec{u}_4 [/mm] }
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Hallo :)
Mir sind bei dieser Aufgabe zwei Sachen nicht ganz kla:
1. wenn da jetzt z.B steht span{ [mm] \vec{u}_1, \vec{u}_2 [/mm] } , muss ich dann [mm] \vec{u}_1 [/mm] + [mm] \vec{u}_2 [/mm] = ( 2, 2, 1) ausrechnen und damit fortfahren?
dann lautet ja, nach dem Prinzip, der linke Teil der Gleichung:
( 2, 2, 1) + ( 0, 1, 1) = ?
damit kommen wir zu meinem zweitem Problem.
2. Ich weiß nicht genau was mit diesem Zeichen [mm] \oplus [/mm] (direkte Zerlegung) gemeint ist. Im Internet hab ich auch keine Erklärung gefunden, wie ich jetzt damit rechnen soll..
Kann mir jemand bitte helfen?
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> Gegeben seien [mm]\vec{u}_1^{T}[/mm] = (1, 1, 1), [mm]\vec{u}_2^{T}[/mm] =
> (1, 1, 0), [mm]\vec{u}_3^{T}[/mm] = (0, 0, 1) und [mm]\vec{u}_4^{T}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=
> (0, 1, 0). Zeigen Sie
>
> span{ [mm]\vec{u}_1, \vec{u}_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} + span{ [mm]\vec{u}_3, \vec{u}_4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> = span{ [mm]\vec{u}_1, \vec{u}_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\oplus[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
span{ [mm]\vec{u}_4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
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> Hallo :)
>
> Mir sind bei dieser Aufgabe zwei Sachen nicht ganz kla:
>
> 1. wenn da jetzt z.B steht span{ [mm]\vec{u}_1, \vec{u}_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ,
> muss ich dann [mm]\vec{u}_1[/mm] + [mm]\vec{u}_2[/mm] = ( 2, 2, 1) ausrechnen
> und damit fortfahren?
Hallo,
wenn Dir solche Sachen nicht klar, sind, dann ist immer erstmal ein Blick in Mitschrift/Skript/Buch fällig.
Diesen Blick will der Matheraum eigentlich auch nicht ersetzen...
Der Spann einer Menge von Vektoren enthält all die Vektoren, die man als Linearkombination aus den gegebenen erzeugen kann.
Es ist also [mm] = \{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2| \lambda_1, \lambda_2\in \IR\}.
[/mm]
Vor diesem Hintergrund kannst Du Dir überlegen, welche Vektoren jeweils in [mm] span\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2 \} [/mm] + [mm] span\{ \vec{u}_3, \vec{u}_4\} [/mm]
und in [mm] span\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2\} +span\{vec{u}_4\} [/mm] enthalten sind.
Wir haben es hier ja mit einer Gleichheit von Mengen zu tun.
Zeige also:
1. v [mm] \in [/mm] (rechte Seite) ==> [mm] v\in [/mm] (linke Seite)
2. [mm] v\in [/mm] (linke Seite) ==> [mm] v\in [/mm] (rechte Seite)
> dann lautet ja, nach dem Prinzip, der linke Teil der
> Gleichung:
>
> ( 2, 2, 1) + ( 0, 1, 1) = ?
>
> damit kommen wir zu meinem zweitem Problem.
>
> 2. Ich weiß nicht genau was mit diesem Zeichen [mm]\oplus[/mm]
> (direkte Zerlegung) gemeint ist. Im Internet hab ich auch
> keine Erklärung gefunden, wie ich jetzt damit rechnen
> soll..
Wie lautete denn die Erklärung (Definition) Deiner Vorlesung?
Die Summe aus Uund W, in Zeichen: U+W, ist direkt, in [mm] Zeichen:U\oplus [/mm] W, wenn U und W nur den Nullvektor gemeinsam haben.
Das wäre auch bei Deiern direkten Summe zu prüfen.
Gruß v. Angela
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ja sorry ich hab mir das schon angeschaut^^ Naja die Vektoren einen Spanns bilden ja dann eigentlich eine Ebene und deshalb müsste es ja dann das kreuzprodukt sein.
Ich hab das jetzt mal so angesetzt:
die rechte seite lautet ja span{ [mm] \vec{u}_1, \vec{u}_2 [/mm] } [mm] \oplus [/mm] span { [mm] \vec{u}_4 [/mm] }
=> span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} [mm] \oplus [/mm] span {(0, 1, 0)}
=> span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} + span{(0, 1, 0) [((1 ,1 ,1) x (1, 1, 0)) x (0, 1, 0)]}
wenn man das ausrechnet kommt folgendes raus
=> span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} + span{(0, 1, 0) ; (0, 0, -1)}
dann noch den (0, 0, -1) * -1 und er wird zu [mm] \vec{u}_3
[/mm]
und somit ist der rechte teil gleich dem linken.... kann man das so machen?
P. S :Das ist übrigens die Definition aus dem Script:
Definition 4.31 Sind U1, U2 zwei Unterr¨aume des Vektorraums V , so heißt die Summe
U1 + U2 direkt, falls gilt: U1 ∩ U2 = {~0}. Wir schreiben daf¨ur
U1 ⊕ U2 := U1 + U2 mit U1 ∩ U2 = {~0}.
Ist speziell V = U1 ⊕ U2, so heiße U1 ⊕ U2 die direkte Zerlegung von V in die
Komponenten U1 und U2.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ja sorry ich hab mir das schon angeschaut^^ Naja die
> Vektoren einen Spanns bilden ja dann eigentlich eine Ebene
Hallo,
was meinst du mit "eigentlich"?
Falls Du den konreten span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} meinst, hast Du recht.
Für span {(1 ,1 ,1) ; (2, 2, 2)} hättest Du nicht recht.
> und deshalb müsste es
Aber jetzt hast Du mich abgehängt: was meinst Du mit "es"?
> ja dann das kreuzprodukt sein.
Und wieder Ratlosigkeit: was macht da jetzt warum das Kreuzprodukt?
Was hast Du Dir gedacht dazu?
> Ich hab das jetzt mal so angesetzt:
>
> die rechte seite lautet ja span{ [mm]\vec{u}_1, \vec{u}_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]\oplus[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
span { [mm]\vec{u}_4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> =>
Was ist mit dem Pfeil gemeint? Ein Gleichheitszeichen? (Dann schreib eins.)
> span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} [mm]\oplus[/mm] span {(0, 1, 0)}
> => span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} + span{(0, 1, 0) [((1 ,1
> ,1) x (1, 1, 0)) x (0, 1, 0)]}
>
> wenn man das ausrechnet kommt folgendes raus
>
> => span {(1 ,1 ,1) ; (1, 1, 0)} + span{(0, 1, 0) ; (0, 0,
> -1)}
>
> dann noch den (0, 0, -1) * -1 und er wird zu [mm]\vec{u}_3[/mm]
>
> und somit ist der rechte teil gleich dem linken.... kann
> man das so machen?
Ich hab' ja oben schon zart angedeutet, daß ich nicht gut folgen kann.
>
>
> P. S :Das ist übrigens die Definition aus dem Script:
>
> Definition 4.31 Sind U1, U2 zwei Unterr¨aume des
> Vektorraums V , so heißt die Summe
> U1 + U2 direkt, falls gilt: U1 ∩ U2 = {~0}. Wir
> schreiben daf¨ur
> U1 ⊕ U2 := U1 + U2 mit U1 ∩ U2 = {~0}.
> Ist speziell V = U1 ⊕ U2, so heiße U1 ⊕ U2 die
> direkte Zerlegung von V in die
> Komponenten U1 und U2.
Deckt sich ja mit dem, was ich zuvor gesagt habe.
Hast Du Dir denn nun schon überlegt, daß die Summe [mm] span\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2 \}[/mm] [mm]+[/mm] span [mm] \{\vec{u}_4\} [/mm] direkt ist?
Wie Du den Beweis (über die Def. des Spans) führen kannst, hatte ich Dir ja schon gesagt.
Gruß v. Angela
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Hi
Ja streich das "eigentlich". Wenn man sich die Vektoren graphisch vorstellt spannen sie ja eine Ebene auf.
ich hab ja am anfang fälschlicherweise gedacht, dass man die vektoren aus dem span { [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 [/mm] } jeweils addiert um damit rechnen zu können. Aber das is ja falsch, weil sie eben eine Ebene aufspannen und sich nicht addieren sondern das kreuzprodukt bilden. Verstehst du was ich jetzt mit "es" meine? Ich hab es ja mit der Defintion eines Spanns versucht zu beweißen. Hier mal ein anderes Beispiel
Der Spann von (1, 2), (3, 6) und (-2, -4) ist die Gerade { [mm] \vec{r} [/mm] | [mm] \vec{r} [/mm] = t(1, 2) , t [mm] \in \IR [/mm] }
Dementsprechen habe ich den Spann ausgerechnet. In meiner Rechnung habe ich nur die rechte Seite betrachtet und dann das Kreuzprodukt von [mm] \vec{u}_4 [/mm] und span { [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 [/mm] } gebildet. Anscheinend weiß ich immer noch nicht wie man jetzt mit [mm] \oplus [/mm] rechnet. Aber nach meinem Verfahren kommt am Schluss die linke Seite von der Gleichung raus und wäre ja damit bewiesen.
Der Pfeil soll "daraus folgt" bedeuten.
Naja irgendwie kann ich mit der Defintion nichts anfangen, deswegen habe ich auch nichts verstanden^^ und weiß immer noch nicht so recht wie ich diese Aufgabe lösen soll
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wenn man sich die Vektoren
> graphisch vorstellt spannen sie ja eine Ebene auf.
Nicht unbedingt immer, aber die beiden hier gegebenen u_1 und u_2 tun es schon.
> sie
> eben eine Ebene aufspannen und sich nicht addieren sondern
> das kreuzprodukt bilden.
??? ich kapiere nicht, was Du mit dem Kreuzprodukt hast. Wie kommst Du auf Kreuzprodukt?
> Verstehst du was ich jetzt mit
> "es" meine?
Nein.
> Ich hab es ja mit der Defintion eines Spanns
> versucht zu beweißen. Hier mal ein anderes Beispiel
>
>
> Der Spann von (1, 2), (3, 6) und (-2, -4) ist die Gerade {
> [mm]\vec{r}[/mm] | [mm]\vec{r}[/mm] = t(1, 2) , t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Ja.
>
> Dementsprechen habe ich den Spann ausgerechnet. In meiner
> Rechnung habe ich nur die rechte Seite betrachtet und dann
> das Kreuzprodukt von [mm]\vec{u}_4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und span { [mm]u_1[/mm] , [mm]u_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> gebildet. Anscheinend weiß ich immer noch nicht wie man
> jetzt mit [mm]\oplus[/mm] rechnet.
[mm] \oplus [/mm] sagt ja nur, daß die Summe direkt ist. Das ist keine besondere Rechenvorschrift, sondern sagt was über die beiden Summanden aus. Daß nämlich ihr Schnitt nur den Nullvektor enthält.
> Aber nach meinem Verfahren kommt
> am Schluss die linke Seite von der Gleichung raus und wäre
> ja damit bewiesen.
Ich zeige Dir jetzt mal, daß [mm] span(\vektor{1\\1\\1\\1}) [/mm] + [mm] span(\vektor {1\\2\\3\\4}, \vektor {2\\3\\4\\5})= span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \oplus span(\vektor{6\\7\\8\\9}) [/mm]
Zuerst zeige ich Dir, daß die Summe [mm] span(\vektor{1\\1\\1\\1}) [/mm] + [mm] span(\vektor{6\\7\\8\\9}) [/mm] direkt ist.
Angenommen, sie wäre nicht direkt. Dann gäbe es einen vektor [mm] v\not=Nullvektor, [/mm] der in [mm] span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \cap span(\vektor{6\\7\\8\\9}) [/mm] liegt.
Also gäbe es [mm] r,s\in \IR [/mm] mit [mm] v=r\vektor{1\\1\\1\\1})=s\vektor{6\\7\\8\\9}.
[/mm]
==> r=s=0 ==> v ist der Nullvektor. Widerspruch, also ist die Summe direkt.
Jetzt zeige ich, daß jeder Vektor [mm] v\in span(\vektor{1\\1\\1\\1}) [/mm] + [mm] span(\vektor {1\\2\\3\\4}, \vektor {2\\3\\4\\5}) [/mm] auch in [mm] span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \oplus span(\vektor{6\\7\\8\\9}) [/mm] liegt:
sei [mm] v\in span(\vektor{1\\1\\1\\1}) [/mm] + [mm] span(\vektor {1\\2\\3\\4}, \vektor {2\\3\\4\\5}).
[/mm]
Dann gibt es r,s,t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] v=r\vektor{1\\1\\1\\1}+ s\vektor{1\\2\\3\\4}+t\vektor {2\\3\\4\\5}= [/mm] ...= [mm] (r-5s-4t)\vektor{1\\1\\1\\1}+ (s+t)\vektor{6\\7\\8\\9} \in span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \oplus span(\vektor{6\\7\\8\\9})
[/mm]
Die andere Richtung dann entsprechend.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.
Ich hab jetzt etwas gezeigt, für das Du nichts anderes benötigst als die Definitionen.
>
> Der Pfeil soll "daraus folgt" bedeuten.
"Daraus folgen" tun irgendwelche Aussagen aus Aussagen. Z.B. Gleichungen aus Gleichungen.
Du reihst Terme aneinander und verbindest sie durch "daraus folgt".
Das ist so wie Katze ==> Türklinke ==> Gewitterhexe .
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 08.12.2009 | | Autor: | EdwinMoses |
vielen dank für diese ausführliche erklärung. ich versuche das nach dem prinzip bis morgen zu lösen.
und zu dem pfeil :D normalweise mach ich den auch nicht dachte, dass man es so vielleicht besser sieht.
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Mir ist noch ein Schritt von dir unklar.... und zwar
> Dann gibt es r,s,t [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]v=r\vektor{1\\1\\1\\1}+ s\vektor{1\\2\\3\\4}+t\vektor {2\\3\\4\\5}=[/mm]
> ...= [mm](r-5s-4t)\vektor{1\\1\\1\\1}+ (s+t)\vektor{6\\7\\8\\9} \in span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \oplus span(\vektor{6\\7\\8\\9})[/mm]
wie du da das r, t, s ausgerechnet hast. Hab es noch 3 anderen gezeigt und keiner konnte es nachvollziehen :(
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> Mir ist noch ein Schritt von dir unklar.... und zwar
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> > Dann gibt es r,s,t [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]v=r\vektor{1\\1\\1\\1}+ s\vektor{1\\2\\3\\4}+t\vektor {2\\3\\4\\5}=[/mm]
> > ...= [mm](r-5s-4t)\vektor{1\\1\\1\\1}+ (s+t)\vektor{6\\7\\8\\9} \in span(\vektor{1\\1\\1\\1}) \oplus span(\vektor{6\\7\\8\\9})[/mm]
>
>
> wie du da das r, t, s ausgerechnet hast. Hab es noch 3
> anderen gezeigt und keiner konnte es nachvollziehen :(
>
Hallo,
hab' ich mich verrechnet? Ich hoffe nicht... Für mich stimmt's jedenfalls heute immer noch.
Ich habe, wild entschlossen, den Vektor [mm] v=r\vektor{1\\1\\1\\1}+ s\vektor{1\\2\\3\\4}+t\vektor {2\\3\\4\\5} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vektor{1\\1\\1\\1}und \vektor{6\\7\\8\\9} [/mm] zu schreiben,
das Gleichungssystem [mm] r\vektor{1\\1\\1\\1}+ s\vektor{1\\2\\3\\4}+t\vektor {2\\3\\4\\5}= a\vektor{1\\1\\1\\1}+b\vektor{6\\7\\8\\9} [/mm] nach a und b aufgelöst.
Gruß v. Angela
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Okay danke jetzt hab ich es verstanden ;)
so hab das nun mal versucht....
ich müsste ja dann anhand meiner Aufgabe folgenden Term erstellen:
[mm] r\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] s\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] u\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] a\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] b\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
dann nach a, b, c auflösen...
(r + s - [mm] \IR)\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \IR\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] u\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in [/mm] span{ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ; [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] } [mm] \oplus [/mm] span [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Das [mm] \IR [/mm] soll bedeuten, dass b frei wählbar ist.
Wenn das jetzt stimmen sollte muss ich dann eigentlich auch noch zeigen dass der rechte Teil eine direkte Summe ist? so wie du vorher in deiner Ausführung?
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> [mm]r\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + [mm]u\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]a\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]b\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]c\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> dann nach a, b, c auflösen...
Halllo,
das Auflösen ist nicht so gut gelungen. Es soll doch sein unten links= oben links.
Es ist doch
[mm] r\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+[/mm] [mm]s\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]u\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] =(r + t [mm] )\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] (s-t)\vektor{1 \\ 1 \\ 0} +u\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\in [/mm] span([mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ; [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ) [mm]+[/mm] span [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Daß die Summe rechts direkt ist, muß gezeigt werden.
dann noch die andere Richtung.
Gruß v. Angela
>
> (r + s - [mm]\IR)\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\IR\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]u\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
span{ [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ;
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\oplus[/mm] span [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> Das [mm]\IR[/mm] soll bedeuten, dass b frei wählbar ist.
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> Wenn das jetzt stimmen sollte muss ich dann eigentlich auch
> noch zeigen dass der rechte Teil eine direkte Summe ist? so
> wie du vorher in deiner Ausführung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 10.12.2009 | | Autor: | EdwinMoses |
ich musste es heute schon abgeben, ich hab es in beide richtungen gemacht. Gibt bestimmt ein paar Punkte. Wollte mich nochma für die Geduld und Hilfe bedanken :)
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