Spaltenrang gleich Zeilenrang < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr. Wie beweist man, dass der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist??
Könnte man das so machen?
Ich schreibe die Zeilenvektoren der Matrix A als [mm] R_1= (a_{11},a_{12},...,a_{1n})
[/mm]
[mm] ...R_n=(a_{m1},...,a_{mn})
[/mm]
Sei der Zeilenrang Z(A) = z
Dann gibt es z linear unabhängige Vektoren, welche den Zeilenraum aufspannen und dessen Basis bilden.
Also sei [mm] b_1= [/mm] ( [mm] b_{11},b_{12} [/mm] ,.., [mm] b_{1n}) ;.....;b_z= (b_{z1}, b_{z2} [/mm] ,... [mm] b_{zn})
[/mm]
Dann ist [mm] R_1= \alpha_{11} b_1+...+\alpha_{1z }b_z
[/mm]
[mm] R_2 [/mm] = [mm] \alpha_{21}+...+\alpha_{2z} b_z
[/mm]
... [mm] R_m= \alpha_{n1}+...+\alpha_{mz} b_z
[/mm]
Jeder Spaltenvektor lässt sich dann schreiben als:
[mm] \vektor{a_1j \\ a_2j \\ .\\ .\\ .\\ . \\ a_nj} [/mm] = b_1i [mm] *\vektor{\alpha_11 \\ \alpha_21 \\ .\\ .\\ .\\ . \\ a_z1} +...+b_zi*\vektor{\alpha_m1 \\ \alpha_21 \\ .\\ .\\ .\\ . \\ a_mz}
[/mm]
Der Spaltenrang ist damit auf z beschränkt, also Spaltenrang [mm] \le [/mm] z
wenn man dasselbe mit der transponierten von A macht kommt man auf Zeilenrang [mm] \le [/mm] z und damit Zeilenrang = Spaltenrang =z
Stimmt das??
Lg Sandra
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> Hallo ihr. Wie beweist man, dass der Zeilenrang gleich dem
> Spaltenrang ist??
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> Könnte man das so machen?
Ich habe "Deinen" Beweis nicht in allen Einzelheiten studiert, es scheint einer der in der Literatur kursierenden zu sein, siehe z.B. auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Ich glaube, daß in der Prüfung dieses Indexgewurschtel viel zu langatmig ist, und daß man eher folgendes wird hören wollen:
Sei A mxn_Matrix.
Dann ist A darstellende Matrix einer linearen Abbildung [mm] f:K^n\to K^m [/mm] mit f(x):=Ax.
Es ist dim Bild f=Spaltenrang v. A
Es ist dim Kern f= n-Zeilenrang v. A (Denk dran, wie Du Kerne berechnest.)
Nun gilt n=dim Kern f +dim Bild f=Spaltenrang v. A + n-Zeilenrang v. A ==> Behauptung.
Gruß v. Angela
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Supi Danke!!!
Ich denke auch dass das wesentlich bsser wäre;)
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Es gilt aber doch dim Bild(f) = Spaltenrang von A oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 08.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Es gilt aber doch dim Bild(f) = Spaltenrang von A oder?
selbstverständlich, das dim hat angela nur vergessen, das andere wär ja sinnlos, links en Raum, rechts ne TZahl
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Stimmt dim kern f= n-Zeilenrang v. A mit dim ker(f) = Anzahl der Nullzeilen überein oder?
Oder muss man da dann unterscheiden zwischen mxn mit m>n,und mxn mit m>n
Sodass für m>n : dimker(f) = Anzahl der Nullspalten
m>n dimker(f) = Anzahl der Nullzeilen
Ich stehe gerade auf dem Schlauch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 11.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
die Dimension des Kerns ist NICHT die Anzahl der Nullzeilen der Matrix M mit m Zeilen und n Spalten, sondern - wie angela korrekt geschrieben hat:
dim kern M = n - Zeilenrang(M)
Die Anzahl der in der reduzierten Form vorhandenen Nullzeilen könnte man ausdrücken durch m-Zeilenrang(M).
Für m [mm] \neq [/mm] n ist das natürlich verschieden. Zum Verständnis kannst du dir leicht klarmachen, daß z.B. eine 3 x 5 Matrix selbst bei vollem Rang 3 einen Kern mindestens der Dimension 2 haben muß. Probier das am besten mal aus. Um diese Zusammenhänge gut zu verstehen, sollte man praktisch damit arbeiten.
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ja ich sehe ein, dass dieser Zusammenhang im allgmeinen nicht stimmt;)
abr noch eine kleine Frage
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
ich würde da jetzt nach meinem Vorwissen, dass eben Zeilenrang =Sapltenrang ist, bei dieser Matrix sagen, dass der Rang=2 ist und da n =2 ist die dimension des Kerns natürlich 0.
Mein Probelm ist aber hier, wie bestimme ich einfach so den Zeilenrang. das ist ja die Anzahl linear unabhängier Zeilen. Das heißt, dass wären jetzt hier eben auch 2 , nämlich die ersten beiden, richtig?
Wenn ich es also getrennt betrachte, müsste man sich Zeilen und Spalten als einzelne Vektoren betrachten und jeweils auf lineare unabhängigkeit prüfen.
Ja?
Lg Sandra
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> abr noch eine kleine Frage
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
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> ich würde da jetzt nach meinem Vorwissen, dass eben
> Zeilenrang =Sapltenrang ist, bei dieser Matrix sagen, dass
> der Rang=2 ist und da n =2 ist die dimension des Kerns
> natürlich 0.
Richtig.
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> Mein Probelm ist aber hier, wie bestimme ich einfach so den
> Zeilenrang. das ist ja die Anzahl linear unabhängier
> Zeilen. Das heißt, dass wären jetzt hier eben auch 2 ,
> nämlich die ersten beiden, richtig?
Ja.
>
> Wenn ich es also getrennt betrachte, müsste man sich Zeilen
> und Spalten als einzelne Vektoren betrachten und jeweils
> auf lineare unabhängigkeit prüfen.
>
> Ja?
Ja.
Gruß v. Angela
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