Spalten-, Null-, Zeilenraum .. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Konstruiere A mit der verlangten Eigenschaft oder erkläre, warum dies nicht möglich ist:
a, Der Spaltenraum enthält [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, [/mm] der Zeilenraum enthält [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}.
[/mm]
b, Der Spaltenraum hat Basis [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, [/mm] der Nullraum hat Basis [mm] \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.
[/mm]
c, Dimension des Nullraums = 1 + Dimension des linken Nullraums.
d, Der linke Nullraum enthält [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, [/mm] der Zeilenraum enthält [mm] \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}.
[/mm]
e, Zeilenraum = Spaltenraum, Nullraum [mm] \not= [/mm] linker Nullraum.
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Hallo,
a,
Der Spaltenraum C(A) [mm] \in \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] und Zeilenraum [mm] C(A^T) \in \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}
[/mm]
Aus diesen beiden Unterräumen habe ich nun die Dimensionen abgelesen, also eine 3x2. Damit nun der Zeilenraum [mm] \IR^2 [/mm] wird, muss eine Zeile der Matrix bei dem Übergang zu U Null werden. Also zwei linear unabhängige Spalten und Zeilen.
Es ist möglich für A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
1. und 2. Spalte sind Pivotspalten, zudem 1. und 3. Zeile Pivotzeilen. Somit entspricht der Spaltenraum und Zeilenraum:
C(A) = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] C(A^T) [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] C(A^T) [/mm] füllt den kompletten [mm] \IR^2 [/mm] aus, somit enthält dieser natürlich auch [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}
[/mm]
b,
Spaltenraum C(A) = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} [/mm] und Nullraum N(A) = [mm] \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}. [/mm] Aus dem Spaltenraum kann man ablesen, dass die Matrix den Rang 1 hat, ein Pivotelement. Und für den Nullraum benötigt es eine freie Variable ansonsten könnte man diese Basis nicht bilden.
dim N(A) = n - 1 = 1 (ist ja eine Gerade) -> n = 2. Es müsste aber 3 sein, denn die Basis des N(A) enthält drei Komponenten.
Es ist nicht möglich die Matrix A mit den verlangten Eigenschaften zu konstruieren.
c,
dim N(A) = 1+ dim [mm] N(A^T)
[/mm]
n-r = 1 + m - r
n = 1+m -> m = n-1
n sei 3 , m = 3-1 = 2
Ich habe nun diese Matrix dazu verwendet:
A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 9 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Also zwei Pivotspalten und eine freie Spalte.
N(A) = [mm] \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Der linke Nullram [mm] N(A^T) [/mm] berechnet sich nach [mm] A^T [/mm] y = 0, in diesem Fall gibt es aber nur den Nullvektor, der die Bedingung erfüllt. [mm] N(A^T) [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Somit dim N(A) = 1 und dim [mm] N(A^T) [/mm] = 0
1 = 1+0 (w)
Also ist es möglich, solch eine Matrix A zu konstruieren.
d,
[mm] N(A^T) \in \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] C(A^T) \in \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Der Zeilenraum enthält nur einen Vektor, somit ist der Rang = 1 der Matrix A. Und die Dimension des linken Nullraums ist dim [mm] N(A^T) [/mm] = 1 = m-1 = 1 -> m=2
Die Matrix müsste eine 2 x 2-Matrix. Wegen [mm] C(A^T) [/mm] muss eine Zeile eine Nullzeile ergeben (Rang = 1) und dies muss über die Kombination von [mm] N(A^T) [/mm] erfolgen. Die übrig bleibende Zeile muss ein Vielfaches von [mm] \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] sind, damit es auf der Geraden des Zeilenraumes liegt.
Also 1*1.Zeile von A + 3*2.Zeile von A = 0: [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -9 & -3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} -9 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Also ist es möglich, solch eine Matrix A zu konstruieren.
e,
Nun soll folgendes gelten:
C(A) = [mm] C(A^T) [/mm] und N(A) [mm] \not= N(A^T)
[/mm]
r = r und n-r [mm] \not= [/mm] m-r -> n [mm] \not= [/mm] m
Damit C(A) = [mm] C(A^T) [/mm] gilt, muss die Matrix quadratisch und symmetrisch sein, also n x n. Jedoch ist dann die Bedingung n [mm] \not= [/mm] m nicht mehr erfüllt. Somit ist es nicht möglich, solch eine Matrix zu konstruieren.
Stimmen meine Überlegungen und Antworten?
Gruß
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 08.11.2009 | | Autor: | itse |
Guten Abend,
könnte es sich bitte jemand anschauen. Zumindest eine Einschätzung, ob ich komplett auf dem Holzweg bin.
Vielen Dank
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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