Skizzieren Sie die Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:03 So 06.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die Menge
T:= [mm] \{w \in \IC | |w| \le 1 \mbox{ und } |Im (w)| \le Re (w)\}
[/mm]
bestimmen und skizzieren Sie darüber hinaus das Urbild [mm] exp^{-1} [/mm] T unter der Expotentialfunktion exp: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] |
Guten Morgen,
Habe zunächst versucht die Menge zu bestimmen. Also sei w = x + iy [mm] \Rightarrow \wurzel{x^{2}+y^{2}} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow x^{2}+y^{2} \le [/mm] 1. Desweiteren gilt: y [mm] \le [/mm] x [mm] \Rightarrow 2y^{2} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2}} \le [/mm] x
Hm aber wie mache ich hier weiter? Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 So 06.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi loriot,
> Skizzieren Sie die Menge
>
> T:= [mm]\{w \in \IC | |w| \le 1 \mbox{ und } |Im (w)| \le Re (w)\}[/mm]
>
> bestimmen und skizzieren Sie darüber hinaus das Urbild
> [mm]exp^{-1}[/mm] T unter der Expotentialfunktion exp: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
> Guten Morgen,
>
> Habe zunächst versucht die Menge zu bestimmen. Also sei w
> = x + iy [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow x^{2}+y^{2} \le[/mm]
> 1.
Soweit, so gut. Das ist ja gerade die Einheitskreisscheibe.
> Desweiteren gilt: y [mm]\le[/mm] x [mm]\Rightarrow 2y^{2} \le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2}} \le[/mm] x
>
Meh, das sieht verdächtig aus. Denk mal an folgendes: y=x (Realteil so gross wie der Imaginärteil) wäre die erste Winkelhalbierende. Aber es steht ja noch der Betrag von y dabei. Überleg einfach mal welche Zahlenpaare diese Gleichung erfüllen. Und dann überleg mal welche Zahlen [mm] |y|\le [/mm] x erfüllen. Wenn du das hast, kommen dann nur die innerhalb der Einheitskreisscheibe in Frage.
LG walde
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 06.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Habe als Menge nun T = [mm] \{(x,y) | x \in [0,1], y \in [0, \bruch{1}{\wurzel{2}}}]: [/mm] y [mm] \le [/mm] x [mm] \wedge [/mm] y [mm] \le \wurzel{1-x^{2}} [/mm] (Hier sollte eigentlich noch eine Klammer hin aber irgendwie krieg ichs gerad nicht hin)
Ist das so richtig? Kann man die Menge nicht auch irgendwie eleganter Darstellen?
LG Loriot
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Hi,
> Habe als Menge nun T = [mm] \{(x,y) | x \in [0,1], y \in [0, \bruch{1}{\wurzel{2}}]: y \le x \wedge y \le \wurzel{1-x^{2}} \} [/mm] (Hier sollte eigentlich noch eine Klammer hin aber irgendwie krieg ichs gerad nicht hin)
Backslash davor schreiben  Das Problem ist, dass [mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
automatisch eingefügt wird... dadurch gibt es öfter Darstellungsprobleme, weil Klammerausdrücke zerrissen werden.
> Ist das so richtig? Kann man die Menge nicht auch irgendwie eleganter Darstellen?
Du vernachlässigst immer noch den Betrag: $|y|\leq x$. Zu jedem Paar (x,y)\in T liegt auch (x,-y) in T!
Die Bedingung $y \in [0, \bruch{1}{\wurzel{2}}}]$ ist demnach falsch.
>
> LG Loriot
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm wäre denn dann
T [mm] =\{(x,y) | x \in [0,1], y \in [-\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}]: |y| \le x \wedge y \le \wurzel{1-x^{2}} \} [/mm] korrekt? Kann man das nicht auch anders notieren? Irgendwie eleganter?
LG Loriot95
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> Hm wäre denn dann
> T [mm]=\{(x,y) | x \in [0,1], y \in [-\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}]: |y| \le x \wedge y \le \wurzel{1-x^{2}} \}[/mm]
> korrekt? Kann man das nicht auch anders notieren? Irgendwie
> eleganter?
Hallo Loriot95,
die Einschränkungen durch konkrete Zahlenwerte sind
schlicht und einfach überflüssig. Es genügt:
T [mm]=\{(x,y)\ |\ \ |y| \le x\ \ \wedge\ \ x^2+y^2\le1\ \}[/mm]
Weitere Bedingungen wie z.B. x [mm] \in [/mm] [0,1] und y [mm] \in [/mm] [-1,1]
folgen daraus, müssen aber gar nicht im Einzelnen
angegeben werden.
Für das Folgende ist vor allem wichtig, dass du dir
das Gebiet T einmal aufzeichnest, um dich dann der
Frage nach jenen [mm] z\in\IC [/mm] zuzuwenden, für welche
[mm] exp(z)=w\in{T} [/mm] ist. Tipp: dazu sind die rechtwinkligen
Koordinaten x, y ungeeignet.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok, vielen Dank. Werd deinen Tipp nachgehen. Falls Probleme auftreten poste ich.
LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Also entweder habe ich die Menge falsch skizziert oder es gibt gar keine [mm] exp(z)=w\in{T}. [/mm] Hm gibt es hier vll. auch ein Zeichenprogramm mit dem es möglich ist solche Zeichnungen am Pc zu konstruieren und hier zu posten?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 07.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also entweder habe ich die Menge falsch skizziert oder es
> gibt gar keine [mm]exp(z)=w\in{T}.[/mm]
Doch , die gibt es ! Denn [mm] exp(\IC)=\IC [/mm] \ {0 }
Sei z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann ist [mm] |e^z|=e^x [/mm] und [mm] $e^z= e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)$
[/mm]
Zeige damit: [mm] $e^z \in [/mm] T [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $|sin(y)|\le [/mm] cos(y)$
FRED
> Hm gibt es hier vll. auch
> ein Zeichenprogramm mit dem es möglich ist solche
> Zeichnungen am Pc zu konstruieren und hier zu posten?
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Also entweder habe ich die Menge falsch skizziert oder es
> > gibt gar keine [mm]exp(z)=w\in{T}.[/mm]
>
> Doch , die gibt es ! Denn [mm]exp(\IC)=\IC[/mm] \ {0 }
>
> Sei z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Dann ist [mm]|e^z|=e^x[/mm] und [mm]e^z= e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)[/mm]
Wie kommstn du da drauf? Ist das so definiert?
> Zeige damit: [mm]e^z \in T \gdw x \le 0[/mm] und [mm]|sin(y)|\le cos(y)[/mm]
Weshalb muss hier x [mm] \le [/mm] 0 sein?
> FRED
>
> > Hm gibt es hier vll. auch
> > ein Zeichenprogramm mit dem es möglich ist solche
> > Zeichnungen am Pc zu konstruieren und hier zu posten?
> >
> > LG Loriot95
>
LG loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok es gilt [mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x}*e^{iy} [/mm] = [mm] e^{x}*(cos(y)+isin(y))
[/mm]
= [mm] \underbrace{e^{x}*cos(y)}_{=x} +\underbrace{isin(y)*e^{x}}_{= y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |e^{x}sin(y)| \le e^{x}cos(y) \Rightarrow [/mm] |sin(y)| [mm] \le [/mm] cos(y)
Aber wie du auf die x [mm] \le [/mm] 0 kommst verstehe ich nicht.
LG Loriot95
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> Ok es gilt [mm]e^{z}[/mm] = [mm]e^{x}*e^{iy}[/mm] = [mm]e^{x}*(cos(y)+isin(y))[/mm]
> = [mm]\underbrace{e^{x}*cos(y)}_{=x} +\underbrace{isin(y)*e^{x}}_{= y}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |e^{x}sin(y)| \le e^{x}cos(y) \Rightarrow[/mm]
> |sin(y)| [mm]\le[/mm] cos(y)
>
> Aber wie du auf die x [mm]\le[/mm] 0 kommst verstehe ich nicht.
>
> LG Loriot95
Beschreibe das Gebiet T nun statt mittels x und y mit
Polarkoordinaten r und [mm] \varphi [/mm] !
Setze also [mm] w=r*e^{i*\varphi} [/mm] und betrachte die Gleichung
[mm] e^z=w=r*e^{i*\varphi} [/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Beschreibe das Gebiet T nun statt mittels x und y mit
> Polarkoordinaten r und [mm]\varphi[/mm] !
> Setze also [mm]w=r*e^{i*\varphi}[/mm] und betrachte die
> Gleichung
> [mm]e^z=w=r*e^{i*\varphi}[/mm]
r = 1, q [mm] \in (-\bruch{\pi}{4}, \bruch{\pi}{4}) [/mm]
Also [mm] e^{x+yi} [/mm] = [mm] e^{qi} \Rightarrow [/mm] x = i(q-y)
Dann ist x [mm] \le [/mm] 0. Ist das so korrekt?
> LG Al-Chw.
>
LG Loriot95
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> > Beschreibe das Gebiet T nun statt mittels x und y mit
> > Polarkoordinaten r und [mm]\varphi[/mm] !
> > Setze also [mm]w=r*e^{i*\varphi}[/mm] und betrachte die
> > Gleichung
> > [mm]e^z=w=r*e^{i*\varphi}[/mm]
> r = 1, q [mm]\in (-\bruch{\pi}{4}, \bruch{\pi}{4})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Punkte in T haben Radien im Intervall [mm] 0\le{r}\le1
[/mm]
und Winkel im abgeschlossenen Intervall [mm] -\bruch{\pi}{4}\le\varphi\le\bruch{\pi}{4}
[/mm]
( das Zeichen [mm] \varphi [/mm] schreibt man als [mm] \backslash{\text{varphi}} [/mm] )
> Also [mm]e^{x+yi}[/mm] = [mm]e^{qi} \Rightarrow[/mm] x = i(q-y)
> Dann ist x [mm]\le[/mm] 0. Ist das so korrekt?
Nein.
Beachte hier neben der obigen Korrektur betr. die
Werte von r auch, dass x und y reell sein müssen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm also so wirklich verstanden habe ich es immernoch nicht.
Habe nun folgendes versucht:
[mm] e^{x+iy} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] *(cos(y)+i*sin(y))
[mm] r*e^{i \varphi} [/mm] = [mm] r*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi))
[/mm]
Nun ja wenn nun r = [mm] e^{x} [/mm] wäre, so würde x [mm] \le [/mm] 0 sein. Da r [mm] \in [/mm] [0,1]. Aber ist das so? Das ist jetzt echt mehr oder weniger geraten... Habe sonst leider keine Idee.
LG Loriot95
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> Hm also so wirklich verstanden habe ich es immernoch
> nicht.
> Habe nun folgendes versucht:
>
> [mm]e^{x+iy}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] *(cos(y)+i*sin(y))
> [mm]r*e^{i \varphi}[/mm] = [mm]r*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi))[/mm]
>
> Nun ja wenn nun r = [mm]e^{x}[/mm] wäre, so würde x [mm]\le[/mm] 0 sein. Da
> r [mm]\in[/mm] [0,1]. Aber ist das so? Das ist jetzt echt mehr oder
> weniger geraten...
... aber richtig !
r muss mit dem reellen Faktor [mm] e^x [/mm] im Produkt
$\ [mm] e^x*(komplexe\ [/mm] Zahl\ vom\ Betrag\ 1)$ übereinstimmen.
Schreib es dann so: x=ln(r)
Die ln-Funktion bildet das (halboffene !) Intervall (0 .. 1] auf
[mm] (-\infty [/mm] .. 0] ab.
Ferner kann man offenbar [mm] y=\varphi [/mm] setzen, aber nicht
ohne dabei noch eine zusätzliche Überlegung zu
machen ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh, ok Danke. Mal eine andere Frage... Wenn x [mm] \le [/mm] 0 ist. Dann wäre doch nur der Nullpunkt das Urbild von [mm] exp^{-1} [/mm] T oder seh ich das falsch?
> Ferner kann man offenbar [mm]y=\varphi[/mm] setzen, aber nicht
> ohne dabei noch eine zusätzliche Überlegung zu
> machen ...
Auf die muss ich wohl noch kommen.
> LG Al-Chw.
Vielen Dank schon Mal für deine Mühe und Geduld mit mir.
LG Loriot95
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> Oh, ok Danke. Mal eine andere Frage... Wenn x [mm]\le[/mm] 0 ist.
> Dann wäre doch nur der Nullpunkt das Urbild von [mm]exp^{-1}[/mm]
> T oder seh ich das falsch?
Hi Loriot95,
ich weiß nicht genau, was du damit meinst. Vielleicht
wäre es sinnvoll, die Koordinatenbezeichnungen zu
überdenken. Wir haben vorher x und y als rechtwink-
lige Koordinaten zur Beschreibung der Menge T benützt:
$\ w=x+i*y$
Nun sollten wir wohl für die Zahlen z im Urbildbereich
sinnvollerweise andere Buchstaben verwenden, zum
Beispiel
$\ z=u+i*v$
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 08.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Achso ok. Nun ja ich muss nun aber ehrlich gesagt gestehen das ich keine Ahnung habe wie ich das urbild nun skizzieren soll. Wo fängt man da überhaupt an?
LG Loriot95
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> Achso ok. Nun ja ich muss nun aber ehrlich gesagt gestehen
> das ich keine Ahnung habe wie ich das urbild nun skizzieren
> soll. Wo fängt man da überhaupt an?
>
> LG Loriot95
Hallo,
Beim Gebiet T in der w-Ebene liegen
1.) die Radien $\ r$ im Intervall [0 .. 1] und
2.) die Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] im Intervall [mm] [-\frac{\pi}{4} [/mm] .. [mm] \frac{\pi}{4}] [/mm] .
Dabei ist zu beachten, dass der Polarwinkel einer
komplexen Zahl eigentlich nicht eindeutig bestimmt
ist, sondern nur bis auf die Addition eines beliebigen
ganzzahligen Vielfachen des vollen Umlaufs [mm] 2\,\pi [/mm] .
Daraus kann man schließen, dass für die Punkte der
Urbildmenge in der z-Ebene (mit $\ z=u+i*v$) gelten muss:
1.) [mm] x\le0
[/mm]
2.) [mm] -\frac{\pi}{4} \le (y-k*2\pi) \le +\frac{\pi}{4}\qquad\qquad(k\in\IZ)
[/mm]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Di 08.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok vielen Dank.
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> Ok vielen Dank.
Prima ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ich möchte jetzt nur nochmals auf den "Schönheitsfehler"
an dieser Aufgabe (bzw. an dem Begriff "Urbild") hinweisen:
Wir haben jetzt die Urbildmenge U, welche geometrisch
gesehen aus einer unendlichen Schar disjunkter, zueinander
kongruenter "Halbstreifen" besteht.
Bildet man diese Menge U mittels der Exponentialfunktion
ab, so wird dabei zwar die Menge
$ \ [mm] T^{\ast}\ [/mm] =\ [mm] \{\ w \in \IC\ |\ \ 0< |w| \le 1 \ \ \wedge\ \ |Im (w)| \le Re (w)\ \} [/mm] $
unendlich oft abgedeckt, aber der Nullpunkt $\ w=0+0*i$
liegt nicht im Bild $\ exp(U)$ .
Das Bild (unter $\ exp$) des Urbildes von T (unter [mm] exp^{-1})
[/mm]
entspricht also nicht T :
$\ [mm] exp\left(exp^{-1}(T)\right)\ \not= [/mm] T $
Der Unterschied liegt zwar hier nur in einem einzigen
Punkt; aber es ist ganz leicht, eine Funktion $\ [mm] f:\IC\to \IC$
[/mm]
und eine Menge [mm] T\subset\IC [/mm] anzugeben, wobei sich [mm] f\left(f^{-1}(T)\right) [/mm] ganz
krass von T unterscheidet:
$\ f:\ [mm] z\mapsto0$ [/mm] und $T\ =\ [mm] \IC$
[/mm]
Dann ist $\ [mm] f\left(f^{-1}(T)\right)\ [/mm] =\ [mm] f\left(f^{-1}(\IC)\right)\ [/mm] =\ [mm] \{\,0\,\}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Also entweder habe ich die Menge falsch skizziert oder es
> > > gibt gar keine [mm]exp(z)=w\in{T}.[/mm]
> >
> > Doch , die gibt es ! Denn [mm]exp(\IC)=\IC[/mm] \ {0 }
> >
> > Sei z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]|e^z|=e^x[/mm] und [mm]e^z= e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)[/mm]
> Wie
> kommstn du da drauf? Ist das so definiert?
> > Zeige damit: [mm]e^z \in T \gdw x \le 0[/mm] und [mm]|sin(y)|\le cos(y)[/mm]
>
> Weshalb muss hier x [mm]\le[/mm] 0 sein?
[mm] $|e^z|=|e^{x+iy}|= |e^x*e^{iy}|=|e^x|*|e^{iy}|=e^x$, [/mm] denn [mm] e^x>0 [/mm] und [mm] |e^{iy}|=1
[/mm]
Damit gilt: [mm] |e^z| \le [/mm] 1 [mm] \gdw e^x \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
FRED
> > FRED
> >
> > > Hm gibt es hier vll. auch
> > > ein Zeichenprogramm mit dem es möglich ist solche
> > > Zeichnungen am Pc zu konstruieren und hier zu posten?
> > >
> > > LG Loriot95
> >
> LG loriot95
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> Also entweder habe ich die Menge falsch skizziert oder es
> gibt gar keine [mm]exp(z)=w\in{T}.[/mm] Hm gibt es hier vll. auch
> ein Zeichenprogramm mit dem es möglich ist solche
> Zeichnungen am Pc zu konstruieren und hier zu posten?
Du kannst Zeichnungen, die du mit deinem PC erstellt
hast oder eingescannte Handzeichnungen als Bildanhang
in einen Beitrag einfügen. Siehe da: Bild einfügen
Das Gebiet T in der vorliegenden Aufgabe kann man
aber auch leicht in Worten beschreiben: es handelt
sich um den Viertelkreis (Sektor) des Einheitskreises,
der durch die Radien bei den Polarwinkeln -45° = [mm] -\frac{\pi}{4} [/mm] und
+45° = [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] begrenzt wird.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke genauso hab ichs :)
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> Skizzieren Sie die Menge
>
> T:= [mm]\{w \in \IC | |w| \le 1 \mbox{ und } |Im (w)| \le Re (w)\}[/mm]
>
> bestimmen und skizzieren Sie darüber hinaus das Urbild
> [mm]exp^{-1}[/mm] T unter der Expotentialfunktion exp: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
das Viech heisst etwas anders: Exponentialfunktion
> Guten Morgen,
>
> Habe zunächst versucht die Menge zu bestimmen. Also sei w
> = x + iy [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow x^{2}+y^{2} \le[/mm]
> 1. Desweiteren gilt: y [mm]\le[/mm] x [mm]\Rightarrow 2y^{2} \le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2}} \le[/mm] x
>
> Hm aber wie mache ich hier weiter? Hat jemand einen Tipp
> für mich?
>
> LG Loriot95
Hallo Loriot,
Walde hat dir zur ersten Teilaufgabe schon eine Antwort
gegeben.
Ich möchte eine Anmerkung zur zweiten Teilaufgabe
machen: Die Exponentialfunktion in [mm] \IC [/mm] hat gar keine
eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Um zu einer
solchen zu gelangen, muss man zuerst den Definitions-
bereich der exp-Funktion auf eine geeignete Teilmenge
von [mm] \IC [/mm] beschränken. Ausserdem gehört der Punkt w=0 ,
der der Menge T angehört, nicht zum Bild von [mm] \IC [/mm] unter
der Abbildung exp . Man sollte also sinnvollerweise die
Menge T reduzieren zur Menge
$\ [mm] T^{\ast}\ [/mm] =\ [mm] \{\ w \in \IC\ |\ \ 0< |w| \le 1 \ \ \wedge\ \ |Im (w)| \le Re (w)\ \} [/mm] $
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 06.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Skizzieren Sie die Menge
> >
> > T:= [mm]\{w \in \IC | |w| \le 1 \mbox{ und } |Im (w)| \le Re (w)\}[/mm]
>
> >
> > bestimmen und skizzieren Sie darüber hinaus das Urbild
> > [mm]exp^{-1}[/mm] T unter der Expotentialfunktion exp: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
>
> das Viech heisst etwas anders: Exponentialfunktion
>
> > Guten Morgen,
> >
> > Habe zunächst versucht die Menge zu bestimmen. Also sei w
> > = x + iy [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow x^{2}+y^{2} \le[/mm]
> > 1. Desweiteren gilt: y [mm]\le[/mm] x [mm]\Rightarrow 2y^{2} \le[/mm] 1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2}} \le[/mm] x
> >
> > Hm aber wie mache ich hier weiter? Hat jemand einen Tipp
> > für mich?
> >
> > LG Loriot95
>
>
> Hallo Loriot,
>
> Walde hat dir zur ersten Teilaufgabe schon eine Antwort
> gegeben.
> Ich möchte eine Anmerkung zur zweiten Teilaufgabe
> machen: Die Exponentialfunktion in [mm]\IC[/mm] hat gar keine
> eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Um zu einer
> solchen zu gelangen, muss man zuerst den Definitions-
> bereich der exp-Funktion auf eine geeignete Teilmenge
> von [mm]\IC[/mm] beschränken. Ausserdem gehört der Punkt w=0 ,
> der der Menge T angehört, nicht zum Bild von [mm]\IC[/mm] unter
> der Abbildung exp . Man sollte also sinnvollerweise die
> Menge T reduzieren zur Menge
>
> [mm]\ T^{\ast}\ =\ \{\ w \in \IC\ |\ \ 0< |w| \le 1 \ \ \wedge\ \ |Im (w)| \le Re (w)\ \}[/mm]
>
> LG Al-Chw.
Hallo Al,
Dein Einwände verstehe ich nicht ganz. Skizziert werden soll:
[mm] $exp^{-1}(T):=\{ z \in \IC: e^z \in T \}$.
[/mm]
Gruß FRED
>
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> > > Skizzieren Sie die Menge
> > > T:= [mm]\{w \in \IC | |w| \le 1\ \ \wedge\ \ |Im (w)| \le Re (w)\}[/mm]
> > > und skizzieren Sie darüber hinaus das Urbild [mm] exp^{-1}(T) [/mm]
> > > unter der Exponentialfunktion exp: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC>
[/mm]
> > > ........
> > Hallo Loriot,
> > ich möchte eine Anmerkung zur zweiten Teilaufgabe
> > machen: Die Exponentialfunktion in [mm]\IC[/mm] hat gar keine
> > eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Um zu einer
> > solchen zu gelangen, muss man zuerst den Definitions-
> > bereich der exp-Funktion auf eine geeignete Teilmenge
> > von [mm]\IC[/mm] beschränken. Ausserdem gehört der Punkt w=0 ,
> > der der Menge T angehört, nicht zum Bild von [mm]\IC[/mm]
> > unter der Abbildung exp . Man sollte also sinnvollerweise
> > die Menge T reduzieren zur Menge
> >
> > [mm]\ T^{\ast}\ =\ \{\ w \in \IC\ |\ \ 0< |w| \le 1 \ \ \wedge\ \ |Im (w)| \le Re (w)\ \}[/mm]
> >
> > LG Al-Chw.
>
>
> Hallo Al,
>
> Dein Einwände verstehe ich nicht ganz. Skizziert werden
> soll:
>
> [mm]exp^{-1}(T):=\{ z \in \IC: e^z \in T \}[/mm].
>
> Gruß FRED
Hi Fred,
da habe ich die Schreibweise mit [mm] exp^{-1} [/mm] offenbar nicht
ganz ![[]](/images/popup.gif) definitionsgemäß aufgefasst, sondern so:
[mm]exp^{-1}(T)\ =\ \{ exp^{-1}(w)\ |\ w \in T \}[/mm]
Entsprechend würde ich vom "Urbild" U einer Menge T bei
der Abbildung exp erwarten, dass $\ exp(U)\ =\ T$ und nicht
nur $\ exp(U)\ [mm] \subset\ [/mm] T$ .
Ich habe also den Ausdruck $\ [mm] exp^{-1}(T)$ [/mm] anstatt als
" Urbild von T bei der Abbildung $\ exp$ " als das
" Bild von T bei der Abbildung [mm] exp^{-1} [/mm] " interpretiert.
Doch sollte wohl in der Aufgabe schon die "offizielle"
Definition zugrundegelegt werden. So gesehen sind
natürlich meine "Einwände" fehl am Platz. Dennoch
ist vor allem meine erste Bemerkung sicher nützlich,
um nun das ganze Urbild (nach "offizieller" Definition)
und nicht nur einen Teil davon zu berücksichtigen.
LG Al
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