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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 10.09.2009 | | Autor: | JonSweet |
| Aufgabe | [mm] |z+i|/|z-i|\le2
[/mm]
Frage: Für welche Zahlen ist diese Bedingung erfüllt |
Ich habe wie man es immer macht für z=x+iy angenommen
den ersten schritt schreib ich an damit ihr wisst wo vllt mein Problem liegt
[mm] |x+i(y+1)|\le2*|x+i(y-1)|
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{x^2+(y+1)^2}=2*\wurzel{x^2+(y-1)^2}
[/mm]
Wenn man das rechnet erhält man
[mm] 16/9\le x^2+(y-5/3)^2
[/mm]
Das kann doch nicht stimmen, denn wenn ich x=0 setze erhalte ich
[mm] y1\ge3 [/mm] oder [mm] y2\ge [/mm] 1/3
Laut Musterlösung ist die Aussage für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] Imz\le [/mm] 2/3 erfüllt
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
jon
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Hallo JonSweet und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]|z+i|/|z-i|\le2[/mm]
> Frage: Für welche Zahlen ist diese Bedingung erfüllt
> Ich habe wie man es immer macht für z=x+iy angenommen
> den ersten schritt schreib ich an damit ihr wisst wo vllt
> mein Problem liegt
> [mm]|x+i(y+1)|\le2*|x+i(y-1)|[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{x^2+(y+1)^2}=2*\wurzel{x^2+(y-1)^2}[/mm]
> Wenn man
> das rechnet erhält man
> [mm]16/9\le x^2+(y-5/3)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm] $x^2+\left(y-\frac{5}{3}\right)^2\ge\left(\frac{4}{3}\right)^2$
[/mm]
Und das ist das Äußere des Kreises um [mm] $z=\frac{5}{3}i$ [/mm] mit Radius [mm] $\frac{4}{3}$ [/mm] (einschließlich Kreisrand)
> Das kann doch nicht stimmen, denn
> wenn ich x=0 setze erhalte ich
> [mm]y1\ge3[/mm]
Das ist [mm] $\frac{5}{3}\red{+}\frac{4}{3}$ [/mm] und passt doch, das ist genau die y-Koordinate auf dem Kreisrand (beim Punkt $(0,3)$ bzw. $z=0+3i=3i$)
Alles, was y-Koordinate [mm] \ge [/mm] 3 hat, liegt damit außerhalb des Lösungskreises, passt also
> oder [mm]y2\ge[/mm] 1/3
Und das ist [mm] $\frac{5}{3}\red{-}\frac{4}{3}$, [/mm] liefert also den Punkt auf dem "unteren" Kreisrand und alles was darunter liegt
> Laut Musterlösung ist die Aussage für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit
> [mm]Imz\le[/mm] 2/3 erfüllt
Das halte ich für gewagt ...
Auch Musterlösungen können Fehler enthalten ...
Du kannst ja mal diese "Lösung" posten ...
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
> mfg
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> jon
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 10.09.2009 | | Autor: | JonSweet |
Hallo
Also da steht einfach nur [mm] Imz\le [/mm] 2/3
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Hallo nochmal,
> Hallo
> Also da steht einfach nur [mm]Imz\le[/mm] 2/3
Nun, dann ist das grober Bockmist 
Du hast es doch richtig ausgerechnet, zeichne es dir mal hin, also den besagten Kreis.
Dann siehst du, dass es ziemlich viele Punkte $z$ außerhalb dieses Kreises gibt mit [mm] $\text{Im}(z)>\frac{2}{3}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Do 10.09.2009 | | Autor: | JonSweet |
Ich hatte es skizziert
Ich habe auch gegoogelt und bin darauf aufmerksam geworden, dass es sich um den kreis Apollonius handelt
Also war meine Lösung richtig und die Lösung des Prof falsch =)
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