Skalarprodukt und Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Sei [mm] K\subseteq \IR^{n} [/mm] konvex und [mm] x\in \IR^{n}. [/mm] Dann sind für [mm]y \in K[/mm] folgende Aussagen äquivalent:
(a) [mm] d(x,y) = d(x,K) := inf_{y \in K}||x-y||_{2}[/mm]
(b) [mm] \forall w \in K:\ \le 0[/mm] |
Hi,
ich komme erstmal zur Hinrichtung also [mm] "\Rightarrow".
[/mm]
Sei [mm]w \in K[/mm].
Betrachte:
[mm] \begin{matrix}
&=& \\
\ & =& + \\
\ & =& d(x,y)^2 - \\
\ & =& d(x,K)^2 - \\
\ &=& (inf_{y \in K}||x-y||_{2}) ^2 -
\end{matrix}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich argumentieren soll, dass [mm] \ge (inf_{y \in K}||x-y||_{2}) ^2[/mm] ist. Da w auch aus K ist wäre es doch einleuchtend, dass das dann größer als das Infimum ist, oder?
Zur Rückrichtung habe ich leider noch gar keine Idee, wäre nett, wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen könntet. Man muss bestimmt die Konvexität von K ausnutzen, aber bin noch nicht darauf gekommen wie genau.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 30.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt weiß ich nicht genau wie ich argumentieren soll,
> dass [mm] \ge (inf_{y \in K}||x-y||_{2}) ^2[/mm] ist. Da w
> auch aus K ist wäre es doch einleuchtend, dass das dann
> größer als das Infimum ist, oder?
Hm, ich komme mit der Rechnung auch nicht weiter - aber mach mal folgenden Ansatz: Nehme an, es gäbe ein w mit [m]>0[/m]. Setze dann mal [m]^2:=d(t)[/m] an, leite dies ab. Du erhälst, dass das Minimum der Funktion nicht bei einem [m]0
> Zur Rückrichtung habe ich leider noch gar keine Idee,
> wäre nett, wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen
> könntet. Man muss bestimmt die Konvexität von K
> ausnutzen, aber bin noch nicht darauf gekommen wie genau.
Hierfür braucht man die Konvexität überhaupt nicht. Setze einfach [m]^2=^2[/m] an und rechne dies aus, dann verwende die Vorraussetzung um den Ausdruck nach unten abzuschätzen.
SEcki
|
|
|
|
