Skalarprodukt dringend! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Matheraum!
wäre schön, wenn mir hierbei jemand helfen könnte:
Sei C = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 } \in \IR^{2x2} [/mm] und für x,y [mm] \in \IR^{2}
[/mm]
<x|y>:=<Cx|y>_{s} (s für standardskalarprodukt)
a) Zeigen Sie durch <|> ist ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^{2} [/mm] definiert
b) Geben Sie eine ONB B = [mm] (v^{1},v^{2}) [/mm] von [mm] \IR^{2} [/mm] bzgl. dieses Skalarproduktes an und berechnen Sie für
T: [mm] \IR^{2}--->\IR^{2}, [/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}--->\vektor{x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-x_{2}}
[/mm]
die Matrixdarstellung A=(T;B)
c)berechnen Sie [mm] T*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Vielen Dank
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Du weißt, dass das Standardskalarprodukt [mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{c\\ d}=ac+bd [/mm] ist. Nun sollst du [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] vor der Multiplikation mit C multiplizieren und dann den Ergebnisvektor mit [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] Multiplizieren. Dann zeigst du, dass das Ergebnis der Definition des Skalarproduktes entspricht.
Für die ONB suchst du nun [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] und [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] so, dass ihr neues Produkt [mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{c \\ d}=0 [/mm] ergibt (= senkrecht) und die neuenProdukte [mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{a \\ b}=1 [/mm] und [mm] \vektor{c \\ d}*\vektor{c \\ d}=1 [/mm] ergeben (Normierung).
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