Skalarprodukt auf \IC < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 1
Betrachten Sie den [mm] \mathit{nm} [/mm] dimensionalen [mm] \IC-Vektorraum \IC^{m,m} [/mm] mit der Abbildung
s: [mm] \IC^{n,m} \times \IC^{n,m} \to \IC, [/mm] (A,B) [mm] \mapsto [/mm] Spur(A* B).
(i) Zeigen Sie, dass s ein Skalarprodukt auf [mm] \IC^{n,m} [/mm] ist.
(ii) Sei nun n = m = 2. Gegeben sei folgende Basis des [mm] \IC^{2,2}:
[/mm]
[mm] \left ( A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix} \right [/mm] ) .
Orthonormalisieren Sie diese Basis bzgl. s. |
Hallo zusammen. Eigentlich hatte ich keine Probleme mit der Aufgabe, wenn es denn alles richtig war ich da gemacht hab. :)
Genau das ist auch der Grund weshalb ich euch mal meine Lösung präsentieren wollte. Ich bin mir irgendwie unsicher ob das, was ich gemacht habe überhaupt gefragt war.
Also (i).
Da wir uns in [mm] \IC [/mm] befinden müssen wir folgende 3 Eigenschaften überprüfen.
1) Ist s eine Sesquilinearform?
2) Ist s in Hermitischer Form?
3) Ist s positiv Definit?
1) Seien A,B,C [mm] \in \IC^{n,m} [/mm] und [mm] \lambda \in \IC. [/mm] Dann gilt:
[mm] $s(\lambda [/mm] A + B, C) = Spur( [mm] (\lambda [/mm] A + [mm] B)^{*} \cdot [/mm] C) = Spur( [mm] \overline{\lambda A + B}^T \cdot [/mm] C) = Spur( [mm] (\overline{\lambda} \overline{A}^T [/mm] + [mm] \overline{B}^T) \cdot [/mm] C) = [mm] \overline{\lambda} Spur(A^{*} [/mm] C) + Spur [mm] (B^{*} [/mm] C) = [mm] \overline{\lambda} [/mm] s(A,C) + s(B,C)$
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist eine semilinear in der ersten Komponente
$s(A, [mm] \lambda [/mm] B + C) = Spur( A^* [mm] (\lambda [/mm] B + C)) = Spur( [mm] A^*\lambda [/mm] B + A^*C) = [mm] \lambda [/mm] Spur(A^* B) + Spur(A^* C) = [mm] \lambda [/mm] s(A,B) + s(A,C)$
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist linear in der 2. Komponente
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist Sesquilinear
2) [mm] $\overline{s(B,A)} [/mm] = [mm] \overline{Spur(B^* A)} [/mm] = [mm] \overline{Spur(\overline{B}^T A)} [/mm] = [mm] Spur(\overline{\overline{B}^T A)} [/mm] = [mm] Spur(B^T \overline{A}) [/mm] = [mm] Spur(\overline{\overline{B}^T A)} [/mm] = [mm] Spur(B^T \overline{A})^T [/mm] = [mm] Spur(\overline{A}^T [/mm] B)= Spur(A^* B) = s(A,B)$
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist von Hermitischer Form
3) $s(A,A) = [mm] Spur(\overline{A}^T [/mm] A) = [mm] \sum_{i = 1}^{n}\overline{a_{ii}}a_{ii} [/mm] = [mm] \sum_{i = 1}^{n}\left | a_{ii} \right |^2 \qed [/mm] 0 [mm] \qquad \forall [/mm] A [mm] \in \IC^{n,m}$
[/mm]
Hier jetzt mein Problem. Eigentlich müsste gelten: [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \IC \setminus [/mm] {0}. Doch hier müssen lediglich alle Diagonaleinträge 0 sein, statt die ganze Matrix. Ist s jetzt dennoch positiv Definit?
Falls ja
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist ein Skalarprodukt auf [mm] \IC
[/mm]
So viel dazu... Jetzt muss ja gerechnet werden.
(ii) Ich berechne das jetzt nicht alles haar klein. Mir geht es ja nur um die Vorgehensweise.
Also.
1) Normiere A: [mm] $u_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{||A||} [/mm] A = [mm] \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$
[/mm]
2) Fälle Lot zu B: [mm] $l_2 [/mm] = B - [mm] u_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$
[/mm]
3) Normiere [mm] l_2: $u_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{||l_2||} l_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$
[/mm]
4) Fälle Lot zu C: [mm] $l_3 [/mm] = C - [mm] u_1 [/mm] - [mm] u_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$
[/mm]
5) Normiere [mm] l_3: $u_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{||l_3||} l_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$
[/mm]
4) Fälle Lot zu D: [mm] $l_4 [/mm] = D - [mm] u_1 [/mm] - [mm] u_2 [/mm] - [mm] u_3 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$
[/mm]
5) Normiere [mm] l_4: $u_4 [/mm] = [mm] \frac{1}{||l_4||} l_4 [/mm] = [mm] \frac{2}{3} \begin{bmatrix}0&\frac{1}{2}\\1&- \frac{1}{2}\end{bmatrix}$
[/mm]
Schaut halt nur so komisch aus. Irgendwie.
Vor allem, gehört zu der Aufgabe jetzt noch, dies als Basis zu schreiben? Oder ist die Aufgabe mit angeben von [mm] u_1 [/mm] -> [mm] u_4 [/mm] erledigt?
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.
Liebe Grüße, André
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 05.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin André!
> Aufgabe 1
> Betrachten Sie den [mm]\mathit{nm}[/mm] dimensionalen
> [mm]\IC-Vektorraum \IC^{m,m}[/mm] mit der Abbildung
> s: [mm]\IC^{n,m} \times \IC^{n,m} \to \IC,[/mm] (A,B) [mm]\mapsto[/mm]
> Spur(A* B).
>
> (i) Zeigen Sie, dass s ein Skalarprodukt auf [mm]\IC^{n,m}[/mm]
> ist.
>
> (ii) Sei nun n = m = 2. Gegeben sei folgende Basis des
> [mm]\IC^{2,2}:[/mm]
> [mm]\left ( A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix} \right[/mm]
> ) .
> Orthonormalisieren Sie diese Basis bzgl. s.
> Hallo zusammen. Eigentlich hatte ich keine Probleme mit
> der Aufgabe, wenn es denn alles richtig war ich da gemacht
> hab. :)
> Genau das ist auch der Grund weshalb ich euch mal meine
> Lösung präsentieren wollte. Ich bin mir irgendwie
> unsicher ob das, was ich gemacht habe überhaupt gefragt
> war.
>
> Also (i).
> Da wir uns in [mm]\IC[/mm] befinden müssen wir folgende 3
> Eigenschaften überprüfen.
> 1) Ist s eine Sesquilinearform?
> 2) Ist s in Hermitischer Form?
> 3) Ist s positiv Definit?
>
> 1) Seien A,B,C [mm]\in \IC^{n,m}[/mm] und [mm]\lambda \in \IC.[/mm] Dann
> gilt:
> [mm]s(\lambda A + B, C) = Spur( (\lambda A + B)^{*} \cdot C) = Spur( \overline{\lambda A + B}^T \cdot C) = Spur( (\overline{\lambda} \overline{A}^T + \overline{B}^T) \cdot C) = \overline{\lambda} Spur(A^{*} C) + Spur (B^{*} C) = \overline{\lambda} s(A,C) + s(B,C)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s ist eine semilinear in der ersten Komponente
>
> [mm]s(A, \lambda B + C) = Spur( A^* (\lambda B + C)) = Spur( A^*\lambda B + A^*C) = \lambda Spur(A^* B) + Spur(A^* C) = \lambda s(A,B) + s(A,C)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s ist linear in der 2. Komponente
> [mm]\Rightarrow[/mm] s ist Sesquilinear
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) [mm]\overline{s(B,A)} = \overline{Spur(B^* A)} = \overline{Spur(\overline{B}^T A)} = Spur(\overline{\overline{B}^T A)} = Spur(B^T \overline{A}) = Spur(\overline{\overline{B}^T A)} = Spur(B^T \overline{A})^T = Spur(\overline{A}^T B)= Spur(A^* B) = s(A,B)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s ist von Hermitischer Form
> 3) [mm]s(A,A) = Spur(\overline{A}^T A) = \sum_{i = 1}^{n}\overline{a_{ii}}a_{ii}[/mm]
Das stimmt nicht! Du musst die Matrizen schon richtig multiplizieren 
Wenn du das machst, dann wird der Rest auch mehr Sinn machen...
> (ii) Ich berechne das jetzt nicht alles haar klein. Mir
> geht es ja nur um die Vorgehensweise.
>
> Also.
> 1) Normiere A: [mm]u_1 = \frac{1}{||A||} A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}[/mm]
>
> 2) Fälle Lot zu B: [mm]l_2 = B - u_1 = \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}[/mm]
>
> 3) Normiere [mm]l_2:[/mm] [mm]u_2 = \frac{1}{||l_2||} l_2 = \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}[/mm]
Soweit ok.
> 4) Fälle Lot zu C: [mm]l_3 = C - u_1 - u_2 = \begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}[/mm]
Das Ergebnis stimmt nicht.
> 5) Normiere [mm]l_3:[/mm] [mm]u_3 = \frac{1}{||l_3||} l_3 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}[/mm]
Wenn das Ergebnis grad richtig waer, wuerd das hier trotzdem nicht stimmen. Die Laenge ist [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und nicht $2$.
Ich vermute mal, ein Problem ist dass du das Skalarprodukt falsch ausrechnest?
> Schaut halt nur so komisch aus. Irgendwie.
> Vor allem, gehört zu der Aufgabe jetzt noch, dies als
> Basis zu schreiben? Oder ist die Aufgabe mit angeben von
> [mm]u_1[/mm] -> [mm]u_4[/mm] erledigt?
Ich denke, das ist Geschmackssache. Mir wuerde das so reichen (bis auf das falsche Ergebnis).
LG Felix
|
|
|
| |
|
Mpf... Vielen vielen Dank fürs drüber schauen.
Ja ich hab das Multiplizieren verlernt :)
Jetzt machts auch Sinn, dass die positive Definitheit tatsächlich nur bei einer Nullmatrix gilt.
Und bei [mm] u_3 [/mm] und [mm] u_4 [/mm] hab ich mich tatsächlich verrechnet. *seufz* Das einfache ist immer gesät mit Schusselfehlern.
Im Endeffekt hab ich jetzt die kanonische Basis für [mm] u_1 [/mm] bis [mm] u_4 [/mm] raus. Und nicht so etwas krummes. :)
|
|
|
|
