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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 20.08.2010 | | Autor: | tessanie |
| Aufgabe | | [mm] (\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), u(t) [mm] )_{0, \Omega} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx |
Hallo zusammen,
ich gehe gerade mein Skript zur Vorlesung Numerik partieller DGLs durch und stolpere über diese Umformung. Wahrscheinlich ist es ganz klar, warum der beiden Terme äquivalent sind, aber ich verstehe nicht, wie der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] hier rein kommt.
Also, wir haben dieses Skalarprodukt so definiert:
[mm] $(f,g)_{0, \Omega} [/mm] = [mm] \int_{\Omega} [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g dx$
Das würde doch für unseren Fall hier bedeuten:
[mm] $(\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), u(t) [mm] )_{0, \Omega} [/mm] = [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}u(t) \cdot [/mm] u(t) dx = [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx$
Wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Denkfehler ist, was ich hier übersehen habe, würde ich mich sehr freuen. Danke. 
PS: Ich hab diese Frage natürlich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Fr 20.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
verwend doch mal die Kettenregel für
[mm] $\bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] $
dann hast du die Lösung deines Problems.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Fr 20.08.2010 | | Autor: | tessanie |
Danke für deine schnelle Antwort. Ich hatte befürchtet, das es so eine einfache Erklärung gibt.
Also, wenn ich es richtig verstanden hab so:
[mm] $\bruch{1}{2}\int_{\Omega} \bruch{d}{dt}(u(t))^2 [/mm] dx$ mit Kettenregel
$= [mm] \bruch{1}{2}\int_{\Omega} [/mm] 2 u(t) [mm] \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] dx$
$= [mm] \int_{\Omega} [/mm] u(t) [mm] \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] dx$
$= [mm] \int_{\Omega} \bruch{d}{dt}u(t) [/mm] u(t) dx$
$= [mm] (\bruch{d}{dt} [/mm] u(t), [mm] u(t))_{0,\Omega}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 20.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu leduart:
Kann es sein, dass Du [mm] $\bruch{d}{dt}a*b$ [/mm] auffasst als [mm] \bruch{d}{dt}(a*b) [/mm] ?
Wenn ja, so liegst Du mächtig schief !
[mm] \bruch{d}{dt}a*b [/mm] = (Ableitung von a) * b
[mm] \bruch{d}{dt}(a*b) [/mm] = Ableitung von (a*b)
FRED
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