Sinussatz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \bruch{Sin \alpha }{a} [/mm] = [mm] \bruch{Sin \beta }{b} [/mm] = [mm] \bruch{Sin \gamma }{c}
[/mm]
a=12cm
c=15cm
[mm] \beta=33° [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich errechne b mit Hilfe des Kosinusssatzes
[mm] b^2=a^2+c^2-2ac*cos \beta
[/mm]
demnach ist [mm] b\approx8,19cm
[/mm]
[mm] sin\beta\approx0,5446
[/mm]
Nach dem Sinussatz ist
[mm] sin\alpha=\bruch{sin\beta*a}{ b} \Rightarrow sin\alpha=\bruch{0,5446*12cm}{8,19cm}\approx0,7979
[/mm]
und [mm] \alpha=52,93 [/mm] °
Dann sollte
[mm] sin\gamma=\bruch{sin \beta * c}{ b} \Rightarrow sin\gamma=\bruch{0,5446*15cm}{8,19cm} [/mm] sein.
Wenn ich dies allerdings ausrechne, erhalte ich [mm] sin\gamma\approx0,9974 [/mm] was einem Winkel von [mm] \gamma=85,89 [/mm] ° entspricht.
Wenn ich diesen Winkel von 180° subtrahiere, erhalte ich den wirklichen Winkel [mm] \gamma\approx94,1°.
[/mm]
Wieso scheint der Sinussatz hier nicht zu stimmen, bzw. woran kann ich vorher sehen, dass ich den errechneten Wert von 180 subtrahieren muss?
Wäre schön, wenn mich jemand erleuchten könnte.
Gruß sedemichrA
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Hallo ehceirgsträwkcüR, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist eine gute Frage als Einstieg in dieses Forum - meinen Glückwunsch. (Ja, ist ernst gemeint).
> [mm]\bruch{Sin \alpha }{a}[/mm] = [mm]\bruch{Sin \beta }{b}[/mm] = [mm]\bruch{Sin \gamma }{c}[/mm]
>
> a=12cm
> c=15cm
> [mm]\beta=33°[/mm]
>
> Ich errechne b mit Hilfe des Kosinusssatzes
>
> [mm]b^2=a^2+c^2-2ac*cos \beta[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> demnach ist [mm]b\approx8,19cm[/mm]
> [mm]sin\beta\approx0,5446[/mm]
>
> Nach dem Sinussatz ist
>
> [mm]sin\alpha=\bruch{sin\beta*a}{ b} \Rightarrow sin\alpha=\bruch{0,5446*12cm}{8,19cm}\approx0,7979[/mm]
Ganz pingelig gesehen ist die Rundung wohl eher 0,7980, aber sonst:
> und [mm]\alpha=52,93[/mm] °
Wieder nur Rundung: [mm] \alpha=52,94°, [/mm] sonst
> Dann sollte
>
> [mm]sin\gamma=\bruch{sin \beta * c}{ b} \Rightarrow sin\gamma=\bruch{0,5446*15cm}{8,19cm}[/mm]
> sein.
In der Tat. Das ist es auch.
> Wenn ich dies allerdings ausrechne, erhalte ich
> [mm]sin\gamma\approx0,9974[/mm] was einem Winkel von [mm]\gamma=85,89[/mm] °
> entspricht.
Stop. Hier ist das Problem.
Der [mm] \arcsin [/mm] ist ja nie eindeutig. Im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] bzw. im Gradmaß (Altgrad) im Intervall [0;360°] gibt es nur für [mm] \sin{\alpha}=1 [/mm] und [mm] \sin{\alpha}=-1 [/mm] eine eindeutige Lösung.
(Achtung: diese beiden Sätze widersprechen einander nicht!)
> Wenn ich diesen Winkel von 180° subtrahiere, erhalte ich
> den wirklichen Winkel [mm]\gamma\approx94,1°.[/mm]
Stimmt. Aber Du hast Dich zu früh auf eine Lösung festgelegt.
> Wieso scheint der Sinussatz hier nicht zu stimmen, bzw.
> woran kann ich vorher sehen, dass ich den errechneten Wert
> von 180 subtrahieren muss?
Bedenke zweierlei:
1) [mm] \sin{\varphi}=\sin{(180^{\circ}-\varphi)}
[/mm]
2) [mm] \alpha+\beta+\gamma=180°
[/mm]
> Wäre schön, wenn mich jemand erleuchten könnte.
Das habe ich hoffentlich. Wenn nicht, frag gern noch mal nach.
> Gruß sedemichrA
Nimm mal die Goldkrone aus der Badewanne, dann hast Du mehr Platz. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Hallo ehceirgsträwkcüR,
>
> Das ist eine gute Frage als Einstieg in dieses Forum - meinen Glückwunsch. > (Ja, ist ernst gemeint).
Tja, man sollte nicht überall das gleiche Pseudonym verwenden, und Archimedes gab's seltsamerweise schon
> > Wenn ich dies allerdings ausrechne, erhalte ich
> > $ [mm] sin\gamma\approx0,9974 [/mm] $ was einem Winkel von $ [mm] \gamma=85,89 [/mm] $ °
> > entspricht.
> Stop. Hier ist das Problem.
> Der $ [mm] \arcsin [/mm] $ ist ja nie eindeutig. Im Intervall $ [mm] [0;2\pi] [/mm] $ bzw. im Gradmaß > (Altgrad) im Intervall [0;360°] gibt es nur für $ [mm] \sin{\alpha}=1 [/mm] $ und $ [mm] \sin{\alpha}=-1 [/mm] $ eine eindeutige Lösung.
> (Achtung: diese beiden Sätze widersprechen einander nicht!)
>
> > Wenn ich diesen Winkel von 180° subtrahiere, erhalte ich
> > den wirklichen Winkel $ [mm] \gamma\approx94,1°. [/mm] $
>
> Stimmt. Aber Du hast Dich zu früh auf eine Lösung festgelegt.
Wieso ist der arcsin nie eindeutig? Und bedeutet das, dass ich immer auch beide Lösungen angeben muss?
Meine Tochter schreibt morgen eine Arbeit über Trigonometrie, und sie kann ihre Mathelehrerin offenbar nicht fragen - in ihrem Unterricht hat sie leider nicht einmal gelernt, dass man im Taschenrechner erst 'DEG' einstellen muss, bevor man Sinusberechnungen anstellt....
Mir geht's jetzt darum, wie müsste sie die Lösung in diesem Fall aufschreiben, damit die Lehrerin dies anerkennt? Theoretisch könnte ja
[mm] \alpha=127,05 [/mm] sein, oder?
(mal abgesehen davon, dass dann die Innenwinkel nie 180° ergäben)
Gruß Stefan
P.S.: Das mit der Goldkrone hab ich jetzt nicht verstanden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Do 22.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Da man den Innenwinkelsatz kennt, sollte man wenn 2 Winkel bekannt sind den dritten damit und nicht mit dem sin Satz ausrechnen.
2. der sin-satz liefer immer aussen und innenwinkel, da der Aussenwinkel 180°-Innenwinkel ist, und eben gilt [mm] sin(180°-\alpha)=sin(\alpha)
[/mm]
In der Arbeit muss sie eben immer mit dem Innenwinkelsatz (oder bei Textaufgaben mit dem Text) prüfen, welches der richtige ist!
Gruss leduart
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Stell Dir bitte vor, ich berechne erst b mit dem Kosinussatz, dann aber als nächsten Winkel [mm] \gamma [/mm] und erhalte 85,94 °.
Nun berechne ich [mm] \alpha [/mm] mit dem Innenwinkelsatz
[mm] 180°-\beta33°-\gamma85,94°=\alpha61,06°
[/mm]
Das ist Quatsch, und ich merks nicht einmal.
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Hallo sedemichra,
> Stell Dir bitte vor, ich berechne erst b mit dem
> Kosinussatz, dann aber als nächsten Winkel [mm]\gamma[/mm] und
> erhalte 85,94 °.
> Nun berechne ich [mm]\alpha[/mm] mit dem Innenwinkelsatz
>
> [mm]180°-\beta33°-\gamma85,94°=\alpha61,06°[/mm]
>
> Das ist Quatsch, und ich merks nicht einmal.
Stimmt. Deswegen ist eine Überprüfung unerlässlich. Keine der trigonometrischen Funktionen ist eindeutig, z.T. wegen ihrer Periodizität, z.T. aber auch wegen Beziehungen wie [mm] \sin{\phi}=\sin{(180°-\phi)} [/mm] und [mm] \cos{\phi}=\cos{(-\phi)}. [/mm] Blindes Rechnen genügt daher nicht.
Übrigens noch die Goldkrone: die Geschichte wird überall da erzählt, wo es um das sogenannte archimedische Prinzip geht, nämlich die Entdeckung des Auftriebs, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Du findest viele Fassungen, wenn Du nach Archimedes und Krone suchst.
Grüße
reverend
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Aber wie muss ich (meine Tochter) das jetzt in der Arbeit aufschreiben?
[mm] sin\gamma=0,9974 \Rightarrow \gamma=85,95 [/mm] ; [mm] \gamma'=94,05
[/mm]
[mm] \beta33°+\alpha52,95°+\gamma'94,05=180°
[/mm]
> Übrigens noch die Goldkrone:... ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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Hallo nochmal,
> Aber wie muss ich (meine Tochter) das jetzt in der Arbeit
> aufschreiben?
Da haben die meisten Lehrer leider eigene Vorlieben.
> [mm]sin\gamma=0,9974 \Rightarrow \gamma=85,95[/mm] ; [mm]\gamma'=94,05[/mm]
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> [mm]\beta33°+\alpha52,95°+\gamma'94,05=180°[/mm]
Das ist zwar vollkommen verständlich, wird aber sicher nicht als richtig durchgehen.
Besser: [mm] \alpha+\beta+\gamma'=33°+52,95°+94,05°=180°
[/mm]
Grüße
reverend
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