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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 So 25.01.2009 | | Autor: | andreji |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] f_n:\IR\to\IR [/mm] definiert durch [mm] f_n(x)=sin(nx)/nx [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] f_n(x)=0 [/mm] für x=0
Zeigen Sie:
[mm] |\integral_{0}^{1/n}{f_n(x) dx}|\le\bruch{1}{n} [/mm] |
Guten Abend,
ich habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe und zwar bin ich mir nicht so sicher, wie ich diese Aussage für [mm] x\not=0 [/mm] beweisen kann. Meine Idee ist ein Beweis mittels vollständiger Induktion mithilfe der Taylorreihenentwicklung (http://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus).
Es gilt:
[mm] \integral_{0}^{1/n}{\bruch{sin(nx)}{nx}dx}=Si(1/n);
[/mm]
Si(1/n) [mm] \le [/mm] 1/n und Si(1/n) [mm] \ge [/mm] -1/n;
Beweise zuerst die Aussage: Si(1/n) [mm] \le [/mm] 1/n
Induktionsanfang: n=1;
Benutze hier die Taylorreihenentwicklung: [mm] Si(x)=x-(\bruch{x^3}{3!*3})+(\bruch{x^5}{5!*5})-(\bruch{x^7}{7!*7})+...
[/mm]
Si(1)=1-1/18+1/600-1/5040+... [mm] \le [/mm] 1
Induktionsschritt: n->n+1;
[mm] Si(\bruch{1}{n+1})=\bruch{1}{n+1}-\bruch{(\bruch{1}{n+1})^3}{18}+\bruch{(\bruch{1}{n+1})^5}{600}-\bruch{1(\bruch{1}{n+1})^7}{5040}+...\le \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Man kann hier schon zwar erkennen, dass die Aussage stimmt, wegen dem zweiten Term [mm] \bruch{(\bruch{1}{n+1})^3}{18}, [/mm] aber wie kann das genauer gezeigt werden?
Oder ist das alles überflüssig und man kann direkt mit der Aussage [mm] Si(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{n}-\bruch{(\bruch{1}{n})^3}{18}+\bruch{(\bruch{1}{n})^5}{600}-\bruch{(\bruch{1}{n})^7}{5040}+...\le \bruch{1}{n} [/mm] weiterarbeiten?
Vielen Dank voraus für die Hilfe!
Mfg
Andrej I.
PS.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das geht viel einfacher.
Für [mm]t \geq 0[/mm] gilt nämlich: [mm]|\sin t| \leq t[/mm] (der Sinusgraph liegt hier unterhalb seiner Tangente im Ursprung), woraus sich
[mm]\left| \frac{\sin t}{t} \right| \leq 1[/mm]
ergibt (die linke Seite kann bei [mm]t=0[/mm] mit dem Wert 1 stetig ergänzt werden, wie die Sinusreihe zeigt). Und jetzt setze speziell [mm]t = nx[/mm] und schätze das Integral ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 26.01.2009 | | Autor: | andreji |
| Aufgabe | | [mm] |\integral_{1/n}^{\pi}{f_n(x) dx}|\le\bruch{1}{n}log(\pi*n) [/mm] |
Vielen Dank für deine Hilfe, Leopold-Gast! Du hast Recht, auf die Weise lässt sich die Aufgabe vergleichsweise sehr leicht lösen.
Nun habe ich folgende Aufgabe, aber ich sehe nicht wie ich das Prinzip hier anwenden kann...
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Die Dreiecksungleichung für Integrale und die triviale Abschätzung [mm]|\sin t| \leq 1[/mm] genügen vollständig. Zu guter Letzt sollte man auch noch an die Logarithmengesetze denken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Di 27.01.2009 | | Autor: | andreji |
Ich danke dir vielmals, das hat jetzt auch geklappt!
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