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| Aufgabe | Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus:
sin(x + 90°) = cosx
oder
sin(x + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = cosx |
Hallo!
Es handelt sich dabei um Stoff der 10. Klasse des achtjährigen Gymnasiums in Bayern. Mein Bruder hat dies in der Schule durchgenommen.
Was genau ist mit dem obigen Zusammenhang gemeint bzw. wann und wie findet diese Regel Anwendung in der Praxis?
Vielen Dank
Gruß
el_grecco
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Damit ist nichts anderes als die simple Verschiebung der Sinus-Kurve gemeint. Male dir doch mal eine Sinuskurve auf und in das selbe Koordinatensystem eine Kosinus-Funktion. Die Sinus-Funktion startet bei dem x-Wert 0 mit dem y-Wert 0. Die Kosinusfunktion startet dagegen bei x=0 bei y=1. Wenn man nun um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] weitergeht, dann ist man bei Sinus bei einem y-Wert von 1 und bei Kosinus bei einem y-Wert von 0. Daran sieht man, dass Kosinus nach 90°, was ja [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist, genau die Werte des Sinus annimmt.
Das bedeutet, wenn man die Sinusfunktion um 90° nach links verschiebt (eben x+90°), dass man dann den Verlauf der Kosinusfunktion erhält, weshalb man schreiben darf:
>
> sin(x + 90°) = cosx
>
> oder
>
> sin(x + [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] = cosx
Das kann recht nützlich sein, wenn du z.B. von sin(x+90°) die NST bestimmen willst und weißt, dass du dafür auch cos(x) schreiben kannst, von cos(x) weißt du die NST nämlich sofort, wenn du den Zusammenhang oben jedoch nicht wüsstest, müsstest du überlegen, wann x+90°=90° wird, denn Sinus hat ja bei 90° eine NST. usw...
Die Anwendung ist einfach eine Vereinfachung, damit man bei Funktionen mit einer Verschiebung sich manchmal durch Umformung das Leben vereinfachen kann.
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Danke soweit! 
Aber aus welchem Grund geht man bei +90° nach links?
Liegt das am Einheitskreis?
Gruß
el_grecco
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Nein, das liegt daran, dass der Ausdruck 0 ergeben muss!
Nimm dir [mm] x^2. [/mm] Diese Funktion hat ihre NST bei [mm] x_1=0, [/mm] richtig? Nun nimm die Funktion [mm] f(x)=(x+1)^2. [/mm] Auch dies ist eine Parabel, die um 1 verschoben ist, aber in welche Richtung? Nun, bei einer Verschiebung muss ja nun auch die NST verschoben sein, also muss der Ausdruck 0 liefern, kann aber nicht [mm] x_1=0 [/mm] liefern. Wenn du den Ausdruck 0 setzt, siehst du sofort, die Lösung muss -1 lauten, denn [mm] (-1+1)^2=0, [/mm] richtig? :)
Damit siehst du, dass die neue NST bei [mm] x_1=-1 [/mm] liegt, denn dafür wird der Ausdruck 0. Damit liegt auch der Scheitelpunkt der Parabel bei S=-1/0. Die Funktion wurde also nach links verschoben, um eine Einheit. Und mathematisch drückt sich dass durch [mm] (x+1)^2 [/mm] aus, weil du praktisch die Verschiebung um -1 nach links mit +1 zu 0 eliminierst...
Bei sin(x+90°) ist es dann dasselbe, du musst -90° einsetzen, damit das ganze 0 wird. Also befindet sich diese Funktion um -90° nach links versetzt zur Ausgangsfunktion sin(x). Das heißt, die Funkion beginnt nicht bei (0/0) sondern sozusagen 90° später bei (0/1) und damit ist es die Kosinusfuntkion
Anmerkung: du kannst dir diesen Sachverhalt aber auch am Einheitskreis klarmachen, denn du kannst überlegen, wo wird der Sinus zum Kosinus. Der Kosinus ist ja sozusagen am Einheitskreis der Radius, Kosinus ist ja die Strecke unten auf der "Achse" und hat den größten Wert zu Beginn bei 0, nämlich 1. Der Sinus hingegen ist das senkrechte Stück des Dreiecks am Einheitskreis, und hat den größten Wert nach [mm] \bruch{\pi}{2}=90°, [/mm] nämlich 1. Das bedeutet, Sinus ist zu beginn am kleinsten, mit 0 und wird nach 90° am größten, nämlich 1. Würdest du jetzt Sinus um 90° verschieben, würde die Sinusfunktion direkt bei 90° oder [mm] \pi/2 [/mm] beginnen, und zwar mit dem größten Wert, den Sinus annehmen kann, das ist 1. Danach würde es im Einheitskreis auf [mm] \pi [/mm] zugehen und der Sinus würde immer kleiner, bis er bei [mm] \pi [/mm] wieder 0 annimmt. Damit verhält sich die Sinusfunktion aber genau wie die Kosinusfunktion, die ja bei 0 ebenfalls den größten Wert 1 hat und nach 90° bei [mm] \pi/2 [/mm] den kleinsten Wert mit 0 erreicht.
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> Aber aus welchem Grund geht man bei +90° nach links?
> Liegt das am Einheitskreis?
Ja genau. Du kannst dir das am Einheitskreis veranschaulichen.
Welche Strecke bedeutet SINUS? Und welche Strecke ist der KOSINUS?
Wann hast du genau die selbe Strecke? = Wenn du auf dem Einheitskreis um 90 Grad weiter wanderst.
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