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Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei der berechnung schritt für schritt von
[mm] \integral_{0}^{\pi^2}sin(0,5*\wurzel{x}-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Mit was soll man denn geschickt subst?
Dachte an [mm] (1/(2*\wurzel{x}))
[/mm]
Danke
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Hallo tunetemptation,
> Hallo,
> kann mir vielleicht jemand bei der berechnung schritt für
> schritt von
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> [mm]\integral_{0}^{\pi^2}sin(0,5*\wurzel{x}-\bruch{\pi}{4})[/mm]
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> Mit was soll man denn geschickt subst?
> Dachte an [mm](1/(2*\wurzel{x}))[/mm]
Ich würde den ganzen Klumpatsch in der Klammer substituieren, also [mm] $u:=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{\pi}{4}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{4\sqrt{x}}$, [/mm] also [mm] $dx=4\sqrt{x} [/mm] \ du$
Das [mm] $4\sqrt{x}$ [/mm] nun noch in $u$ ausdrücken:
Mit [mm] $u:=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{\pi}{4}$ [/mm] ist [mm] $u+\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{x}$, [/mm] also (mal 8) [mm] $4\sqrt{x}=8u+2\pi$
[/mm]
Noch die Grenzen substituieren:
alte untere: [mm] $x=0\Rightarrow u=\frac{1}{2}\sqrt{0}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$ [/mm] = neue untere Grenze
alte obere Grenze: [mm] $x=\pi^2\Rightarrow u=\frac{1}{2}\sqrt{\pi^2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ [/mm] = neue obere Grenze
Damit also
[mm] $\int\limits_{0}^{\pi^2}{\sin\left(\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{\pi}{4}\right) \ dx}=\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{(8u+2\pi)\cdot{}\sin(u) \ du}$
[/mm]
Das auseinanderziehen:
[mm] $=8\cdot{}\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{u\cdot{}\sin(u) \ du} [/mm] \ \ + \ \ [mm] 2\pi\cdot{}\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\sin(u) \ du}$
[/mm]
Das hintere Integral ist selbstredend ... (um 0 symmetrisches Intervall, ungerade Funktion ...)
Beim ersten Integral nun mit partieller Integration ran ...
> Danke
>
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LG
schachuzipus
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Vielen dank. Dasselbe habe ich auch rausbekommen. gruss
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