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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral:
[mm] \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-1|=e}\frac{z^{5}+5z^{3}+4z}{1-e^{2\pi z}}dz [/mm] |
z ist hier eine komplexe Zahl.
Ans Herz gelegt wurde mir von einem Studenten folgende Formel (eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel) zur Lösung des Integrals:
[mm] \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=\epsilon}\frac{f(z)}{(z-a)^{N+1}}dz=\frac{f^{(N)}(a)}{N!} [/mm]
Ich muss also die Nennernullstellen herausfinden, um dann den Nenner einer Polynomzerlegung zu unterziehen, wodurch ich dann den einen Faktor (also (z-a)), der die Singularität "enthält" im Nenner lasse und den Rest in den Zähler stecke (die Singularität muss natürlich im Integrationsgebiet liegen, ansonsten kann sie ignoriert werden). Formel ließe sich so einfach anwenden. Ich habe hier ein Beispiel vom oben genannten Studenten vor mir liegen (der Nenner ist bei diesem [mm] $16z^{2}-\pi$) [/mm] , wo aber die Polynomzerlegung einfach durchzuführen ist [mm] ($(z-\frac{\pi}{4})(z+\frac{\pi}{4})$).
[/mm]
Um auf mein Beispiel zurückzukommen:
Wenn z=x+iy (und x und y reell sind) ist, dann sind die Nullstellen des Nenners:
[mm] 1-e^{2\pi z}=0 [/mm]
[mm] \rightarrow e^{2\pi z}=1 }[/mm]
[mm] e^{2\pi x}e^{2\pi iy}=1 [/mm]
[mm] \rightarrow x=0 [/mm], [mm]y=m, m\in\IZ [/mm]
Jetzt würde ich es (nachdem ich geprüft habe, für welche y=m die Punkte im Integrationsgebiet liegen: es sind [mm] $y\in[-2;2]$, $y\in\IZ$) [/mm] gerne in die Form bringen, um obige Formel anwenden zu können, aber das kann ich irgendwie nicht machen.
Wie löse ich das Integral? So oder ganz anders?
Danke für Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral:
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> [mm]\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-1|=e}\frac{z^{5}+5z^{3}+4z}{1-e^{2\pi z}}dz[/mm]
>
> z ist hier eine komplexe Zahl.
> Ans Herz gelegt wurde mir von einem Studenten folgende
> Formel (eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel)
> zur Lösung des Integrals:
>
> [mm]\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=\epsilon}\frac{f(z)}{(z-a)^{N+1}}dz=\frac{f^{(N)}(a)}{N!}[/mm]
>
> Ich muss also die Nennernullstellen herausfinden, um dann
> den Nenner einer Polynomzerlegung zu unterziehen, wodurch
> ich dann den einen Faktor (also (z-a)), der die
> Singularität "enthält" im Nenner lasse und den Rest in
> den Zähler stecke (die Singularität muss natürlich im
> Integrationsgebiet liegen, ansonsten kann sie ignoriert
> werden). Formel ließe sich so einfach anwenden. Ich habe
> hier ein Beispiel vom oben genannten Studenten vor mir
> liegen (der Nenner ist bei diesem [mm]16z^{2}-\pi[/mm]) , wo aber
> die Polynomzerlegung einfach durchzuführen ist
> ([mm](z-\frac{\pi}{4})(z+\frac{\pi}{4})[/mm]).
>
> Um auf mein Beispiel zurückzukommen:
>
> Wenn z=x+iy (und x und y reell sind) ist, dann sind die
> Nullstellen des Nenners:
>
> [mm]1-e^{2\pi z}=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow e^{2\pi z}=1 }[/mm]
>
> [mm]e^{2\pi x}e^{2\pi iy}=1[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x=0 [/mm], [mm]y=m, m\in\IZ[/mm]
>
> Jetzt würde ich es (nachdem ich geprüft habe, für welche
> y=m die Punkte im Integrationsgebiet liegen: es sind
> [mm]y\in[-2;2][/mm], [mm]y\in\IZ[/mm]) gerne in die Form bringen, um obige
> Formel anwenden zu können, aber das kann ich irgendwie
> nicht machen.
> Wie löse ich das Integral? So oder ganz anders?
nimm den Residuensatz
fred
>
> Danke für Hilfe
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Danke erstmal für die Hilfe!
Mir ist jedoch eingefallen, dass es doch mehr Nullstellen gibt. Bspw. für x=1 ist y=i zu wählen. Es gibt doch unendlich viele Nullstellen, oder? Was mache ich denn nun?
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Hallo Unknown-Person,
> Danke erstmal für die Hilfe!
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> Mir ist jedoch eingefallen, dass es doch mehr Nullstellen
> gibt. Bspw. für x=1 ist y=i zu wählen. Es gibt doch
> unendlich viele Nullstellen, oder? Was mache ich denn nun?
Zur Berechnung des Integrals sind nur diejenigen Nullstellen relevant,
die innerhalb des angegebenen Bereiches liegen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Mi 10.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Hilfe!
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> Mir ist jedoch eingefallen, dass es doch mehr Nullstellen
> gibt. Bspw. für x=1 ist y=i zu wählen.
Das stimmt nicht.
> Es gibt doch
> unendlich viele Nullstellen, oder? Was mache ich denn nun?
[mm] $1-e^{2 \pi z}=0$ \gdw [/mm] es ex. k [mm] \in \IZ [/mm] mit: $z= k*i$
FRED
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