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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:46 Di 03.07.2007 | | Autor: | BertanARG |
| Aufgabe | (a) Es sei U [mm] \subseteq \IC [/mm] offen, 0 [mm] \in [/mm] U und f : U [mm] \backslash [/mm] {0} [mm] \rightarrow \IC [/mm] holomorph. Zeigen Sie: f hat
in 0 genau dann eine hebbare Singularität (bzw. einen Pol bzw. eine wesentliche
Singularität), wenn [mm] f^2 [/mm] in 0 eine hebbare Singularität (bzw. einen Pol bzw. eine
wesentliche Singularität) hat.
(b) Die Funktion f : [mm] K(z_0, r)\backslash\{z_0\} \rightarrow \IC [/mm] (r > 0) sei holomorph und habe in [mm] z_0 \in \IC [/mm] eine
nicht hebbare Singularität. Zeigen Sie, dass [mm] e^f [/mm] in [mm] z_0 [/mm] eine wesentliche Singularität
hat. |
Hi,
ich wüsste wieder gern, wie ich den Beweis ansetzen kann. Bin momentan noch nicht so fit in dem Gebiet, und wüsste daher gern wie ich an solche Beweise ran gehen muss.
Danke schon mal,
BertanARG
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Ich habe einen Beweis gefunden, der allerdings nicht für alle Fälle zutrifft. Genauer gesagt habe ich in meinem Beweis einen Teil der Aussagen widerlegt.
Wenn [mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n z^n [/mm] ist, so ergibt sich für die
Laurentreihe von [mm] f^2(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}\summe_{m=-\infty}^{\infty}c_n c_m z^{n+m}
[/mm]
und allgemein sei [mm] f^2(z)=\summe_{i=-\infty}^{\infty}b_i z^i
[/mm]
Vergleicht man die Koeffizienten der beiden Reihen von [mm] f^2, [/mm] so gilt für die Koeffizienten [mm] b_i, [/mm] dass
[mm] b_i=\summe_{n+m=i, n,m=-\infty}^{\infty}c_n c_m
[/mm]
Ich habe nun ein Beispiel dafür, dass eine Funktion f mit wesentlicher Singularität eine Funktion [mm] f^2 [/mm] erzeugt mit einem Pol 1. Ordnung.
Hierfür wähle man einfach [mm] c_i=0 [/mm] für alle i>0, [mm] c_0=1, c_{-1}=2, c_{-2}=-2.
[/mm]
Dann ist [mm] b_0=c_0^2=1, b_{-1}=2*c_0 c_{-1}=4, b_{-2}=2*c_0 c_{-2}+c_{-1}^2=2*(-2)+4=0
[/mm]
Anhand des Ansatzes für j=-3,-4,... mit [mm] b_j=(c_0,c_{-1},...,c_j)*(c_j,...,c_{-1},c_0)^T=0 [/mm] kann man sukzessive die weitere Faktoren [mm] c_j [/mm] bestimmen, für die [mm] b_j [/mm] stets 0 ist.
Bis j=-7 ergibt sich für die Faktoren [mm] c_j [/mm] z.B. [mm] (c_0,c_{-1},...,c_{-7},...)=(1,2,-2,4,-10,28,-84,264,...)
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? Oder ist die Behauptung in der Aufgabe wirklich nicht gültig.
Denn hier hätte eine Funktion f mit wesentlicher Singularität eine Funktion [mm] f^2 [/mm] erzeugt, mit einem Pol 1. Ordnung
Danke schon mal,
BertanARG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 04.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo BertanARG,
> Ich habe einen Beweis gefunden, der allerdings nicht für
> alle Fälle zutrifft. Genauer gesagt habe ich in meinem
> Beweis einen Teil der Aussagen widerlegt.
Nicht ganz, du hast etwas Wesentliches vergessen: Du hast zwar die Koeffizienten der formalen Laurentreihe ausgerechnet, aber nichts über ihre Konvergenz ausgesagt. Die Funktion [mm]f[/mm] soll holomorph in [mm]U \backslash \{0\}[/mm] sein. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, du müsstest zeigen, dass die Laurentreihe für beliebig nahe an [mm]0[/mm] liegende Werte von [mm]z[/mm] konvergiert.
Grüße
Rainer
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