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| Aufgabe | Eine simpliziale abelsche Gruppe, ein simplizialer topologischer Raum, ein simpliziales Objekt einer Kategorie C ist ein Funktor [mm] F:\Delta^{op}\to{C}, [/mm] wobei C die Kateogire der abelschen Gruppen, bzw. der topologischen Räume, bzw. irgendeine Kategorie ist.
i) Zeigen Sie, jede simpliziale Menge [mm] F:\Delta^{op}\to{Ens} [/mm] definiert eine simpliziale abelsche Gruppe [mm] :\Delta{op}\to{Ab}, [/mm] deren Werte freie abelsche Gruppen sind.
ii) Zeigen Sie allgemeiner, zu jeder simplizialen Menge [mm] F:\Delta^{op}\to{Ens} [/mm] und jeden Funktor [mm] G:Ens\to{C} [/mm] gibt es ein simpliziales Objekt [mm] G\circ{F} [/mm] von C. Beschreiben Sie die simpliziale Gruppe von i) auf diese Weise. |
Hallo liebe Freunde der algebraischen Topologie,
ehrlich gesagt, weiß ich überhaupt nicht was getan werden muss. Ich verstoße daher mal ganz arrogant gegen die Forenregeln und bitte um Hilfe.
Ich weiß was eine simpliziale abelsche Gruppe ist:
Ist A eine simpliziale Gruppe, dann haben wir eine Abbildung [mm] A:\Delta^{op}\to(\text{abelsche Gruppen}), [n]\mapsto{A_n}
[/mm]
Doch wie ich alles in Einklang bringe: Ich weiß es nicht. :-(
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir einen Push gebt. Für Empfehlungen von guter Literatur/Internetseiten bin ich auch sehr dankbar.
Liebe Grüße, und schönes Wochende!
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Hallo Richie,
Wenn ich das hier richtig verstehe, ist es ziemlich trivial. Ein simpliziales Objekt in [mm] $\mathcal [/mm] {C} $ ist ein Funktor [mm] $\Delta^{\operatorname{op}}\longrightarrow\mathcal [/mm] {C} $. Wenn man nun einen Funktor [mm] $\mathcal {C}\longrightarrow\mathcal [/mm] {D} $ hat, dann ist natürlich die Komposition [mm] $\Delta^{\operatorname{op}}\longrightarrow\mathcal {C}\longrightarrow\mathcal [/mm] {D} $ ein Funktor [mm] $\Delta^{\operatorname{op}}\longrightarrow\mathcal [/mm] {D} $ und somit ein simpliziales Objekt in [mm] $\mathcal [/mm] {D} $. Zu zeigen gibt es da m.E. nach nichts.
Und in a) soll man einfach für [mm] $\mathcal {C}\longrightarrow\mathcal [/mm] {D} $ den Funktor wählen, welcher jede Menge auf die freie abelsche Gruppe über dieser Menge sendet. Besser geeignet als "Zeigen" wäre wohl "Klarmachen" als Aufgabenstellung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Wenn man sich in den abstrakteren Gebieten der Mathematik herumtreibt, ist meiner Meinung nach das n-Lab immer eine gute Quelle für Hintergrundinformationen, wenigstens in der Kategorientheorie habe ich diese Erfahrung gemacht.
![[]](/images/popup.gif) Simpliziales Objekt im n-Lab
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 01.06.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo universielles Objekt,
vielen Dank für deine Antwort.
Damit konnte ich schon immer mal etwas anfangen. Ich denke, dass das in der Tat soweit klar ist.
Ist eben immer ein bisschen die Frage, was genau man nun zeigen/schreiben/beweisen/zeigen soll. So klar sehe ich das aus der Aufgabenstellung nicht.
Dass die Komposition von zwei Funktoren wieder ein Funktor ist, wurde auch schon in der Vorlesung gezeigt. Also wird das wohl nicht verlangt.
Ich werde auch noch einmal mit Kollegen Rücksprache nehmen und dann eventuell mich noch einmal rückmelden.
Zunächst erst einmal schönen Sonntag. Gleich kommt noch eine Aufgabe zur algebraischen Topologie. Vielleicht kannst du mir dort noch helfen. 
Liebe Grüße
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