Signum einer Permutation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Diddl |
Hallo zusammen..
[mm] a_n:=(1 [/mm] 2 3.... n-1 n)
(n n-1 n-2...... 2 1) die beiden klammern sollen jeweils große klammern sein,halt ne permutaion das ganze zusammen.
ich soll hier das signum berechnen.ich weiss das dies die fehlstände sind, felsstände berechnen kann ich.aber was mache ich bei diese [mm] a_n [/mm] permutaion mit n's?wird das noch komplizierter??wie fasse ich das alles auf???weil n ist zwar endlich aber was nicht wie ich das auffasse.kann mir jemand ein tip geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Diddl |
sorry meine permutaion ist ein wenig verrutscht..aber hoffe ihr könnt das einordnen jede ziffer von oben hat die zugehörige zahl unten.
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Mit Fehlständen kann ich nichts anfangen, aber wir haben gelernt/bewiesen, dass vertauschen(tranponieren) zweier beliebiger Komponenten das Vorzeichnen von Signum ändert. Also als Beispiel: (1,2,3,4,5) --> (1,2,3,4,5) : Signum = 1
(1,2,3,4,5) --> (1,2,4,3,5) : Signum = -1 ; (1,2,3,4,5) ---> (4,2,1,3,5) : Signum = 1.......
Außerdem haben wir gezeigt, dass die Zahl dieser Transpositionen von einer Permutation zu einer anderen auf jeden Fall immer gerade bzw. immer ungerade ist. Mit ein Paar Überlegungen solltest du darauf kommen, dass Signum der Permutation gleich [mm] -1^{n/2} [/mm] ist, wobei du n/2 abrunden musst!
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Diddl |
okay was du mir jetzt betreff algemeiner Signum Berechnung geschrieben hast bezieht sich auch auf die Fehlstände ist das selbe.das ist mir klar.
nur habe iene bitte an dich,kannst mir das noch genauer erklären bezüglich meiner Aufgabe...??
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Sorry, wir haben Permutationen nur am Rande gemacht, daher konnte ich mir Fehlständen und auch mit Zykeln nichts anfangen, aber ich vermute, das was Secki meint, geht in dieselbe Richtung....
Wir gehen aus von (1,2,.....,n-1,n) ----> (1,2,.....,n-1,n)
du wirst mir zustimmen, dass wir zu
(1,2,.....,n-1,n)-----> (n,n-1,.....,2,1) kommen wollen, jeweils die k. mit der (n-k). Komponente tauschen müssen. Für je zwei Komponenten erhalten wir so eine Transposition, wenn n gerade ist, also n/2 Transpositionen, d.h. Signum = [mm] (-1)^{n/2}
[/mm]
Wenn n allerdings ungerade ist, muss die Komponente in der Mitte ihre Position aber nicht tauschen, d.h. wir haben immer noch soviele Transpositionen, wie bei n-1 Komponenten, was zu dieser Abrundungsvorschrift für (n/2) bei Signum = [mm] (-1)^{n/2} [/mm] führt.
Vermutlich sind die Formulierungen relativ naiv, aber wie gesagt, wir haben das nur kurz gestriffen, um die Leibnizformel für Determinanten zu erklären.
Hoffentlich ist das alles nachvollziehbar, ansonsten nochmal melden.
Gruß Tran
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Mi 29.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Paar Überlegungen solltest du darauf kommen, dass Signum
> der Permutation gleich [mm]-1^{n/2}[/mm] ist, wobei du n/2 abrunden
> musst!
Man kann sich das auch mit Zykeln überlegen: das zerfällt jeweils in disjunkte Zykeln [m](1\,n)(2\,n-1)...[/m] zerlegen, also muss man für das Signum lediglich die Zykeln zählen, und erhält auch obiges Ergebnis (bei ungeraden n hat man ein mittleres Elemtn, das auf sich selber abgebildet wird, also ignoriert man es.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Diddl |
ICH SCHAUE MIR DAS MORGEN IN RUHE AN:UND MELDE MICH AUCH ANSCHLISEND:
BIS DENN:::
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Diddl |
Kann man denn sagen n= 2k gerade =>sig=(-1) ^n/2
n=2k+1 ungerade [mm] =>sig=(-1)^n/2
[/mm]
weil ich ja eigentlich zwischen n=2k und n=2k+1 unterscheiden muss??
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Wenn n ungerade ist, ist [mm] (-1)^{n/2} [/mm] ja im reelen gar nicht definiert, daher haben wir zur korrekten Beschreibung die Gaußschen Abrundungsklammern um n/2 gesetzt (hoffe, die heißen so). D.h. n/2 wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet. Dies ist auch nachvollziehbar, da man ja bei m (gerade) m/2 Vertauschungen vornimmt, bei m+1 aber ebenfalls. (m+1)/2 sind aber gerade m/2 + 1/2 und dieses 1/2 verschwindet durch die Abrundung dann halt immer.
Alternativ kannst du halt einfach die Fallunterscheidung für gerade und ungerade n machen. Bei ungeraden n müsste es dann heißen:
sig = [mm] (-1)^{(n-1)/2}
[/mm]
Alles klar?
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Diddl |
ja aber wie soll denn die fallunterscheidung aussehen also für ungerade hast du ja als lösung (-1)^(n-1)/2 wie komme darauf muss ich das nicht beweisen=??und wie sieht das für" gerade" aus?
also signum berechnen ist ja leicht aber hier ist das so schwer
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n gerade:
Dann kannst du ja die erste Zeile mit der n. vertauschen, die 2. mit der (n-1)., die k. mit der (n-k). Da du immer Paare vertauscht, liegt die Anzahl der Vertauschungen gerade bei der Hälfte der Zeilenanzahl, also n/2. Damit ist sig = [mm] (-1)^{n/2}
[/mm]
n ungerade:
Bis auf die Zeile in der Mitte, werden alle Zeilen nach dem Schema von n gerade vertauscht, also insgesamt (n-1) Vertauschungen!! Die Zeile in der Mitte ist dann an der richtigen Position, wir haben aber keine zusätzliche Vertauschung vornehmen müssen. Damit erhalten wir [mm] sig=(-1)^{(n-1)/2}. [/mm]
Das reicht als Begründung eigentlich aus, weil es meines Erachtens schnell einsichtig wird!
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Diddl |
okay also das ist der unterschied...also reicht das meine aufgabe zu beantworten. nur was meinst du mit.."Bis auf die Zeile in der Mitte, werden alle Zeilen"..welche zeile in der mitte
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Ich geb dir ein Beispiel, dann wird es sicher deutlicher:
[mm] \pmat{ a & 2 & 3 &7 & 5 \\ b & 4 & 5 & 7 & 8 \\ c & 1 & 8 & 6 & 0 \\ d & 4 & 9 &4 & 1\\ e & 5 & 6 & 7 & 2}
[/mm]
Ich habe jetzt mal in der ersten Spalte Buchstaben eingebaut, um es besser bezeichnen zu können. So, nach unserem Vertauschungsschema tauschen wir ja jetzt Zeile a und Zeile e. Außerdem noch Zeile b und Zeile d. Aber für Zeile c, die Zeile in der Mitte, bleibt kein Tauschpartner mehr übrig. Nun nachvollziehbar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Diddl |
ja aber bezüglich jetzt der aufgabe bezihen sich die zeilen auf die permutaion oder
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OH MEIN GOTT!!
Tut mir total Leid. Ich bin seit 7 auf den Beinen und die Nacht war auch recht kurz (4 oder 5 h) und ich hab nicht mehr drauf geachtet, was du für eine Aufgabenstellung hast und hab die deshalb mit einer meiner letzten Übungsaufgaben verwechselt.... da gings um Determinanten von Matrizen, das ist der Grund warum ich dauernd von Zeilen fasele....
Allerdings bin ich mir jetzt auch nciht mehr sicher, ob das alles stimmt, was ich geschrieben habe......
Tut mir wahnsinnig Leid, dass ich dich hier nur verwirrt habe!!
Gruß Tran
PS: Habs mir nochmal durchgeschaut. Die Überlegungen stimmen zum Glück noch, nur musst du jeweils anstelle von "Zeile" "Stelle" oder sowas lesen (du hast ja n Stellen/Komponenten oder wie man das sonst nennt, bei denen man 1. mit n. ter vertauscht, etc. wie halt beschrieben)
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