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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 08.03.2011 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | | Es sei eine Sigma-Algebra F auf einer nichtleeren Menge [mm] \omega [/mm] gegeben |
Es sind die üblichen drei Axiome für eine Sigma-Algebra F erfüllt. Meine Frage ist jetzt: Ist das dritte Axiom
3.) [mm] A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in [/mm] F --> [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in [/mm] F
auch noch gültig, wenn die Mächtigkeit von [mm] \omega [/mm] überabzählbar unendlich ist?
Ich weiß bis jetzt nur, dass das 3. Axiom nur für abzählbar unendliche Vereinigungen gilt. Bin mir aber nun nicht sicher ob das ein Widerspruch ist?!
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Di 08.03.2011 | | Autor: | Fry |
Hey sinalco,
wieso Widerspruch?
Das ist gerade doch die Definition der [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal [/mm] A$auf [mm] $\Omega$, [/mm] dass abzählbar unendliche Vereinigungen von Mengen aus [mm] $\mathcal [/mm] A$ wieder in [mm] $\mathcal [/mm] A$ liegen, d.h. dass also gilt:
[mm] $A_1,A_2,...\in\mathcal [/mm] A$ [mm]\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\in\mathcal A[/mm]
Beispiel für den Fall, den du angesprochenen hättest, ist [mm] $\Omega=\IR$
[/mm]
mit [mm] $\mathcal A=\IB$, [/mm] wobei [mm] $\IB$ [/mm] die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] sein soll.
VG
Fry
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