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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 23.10.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge, [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] und [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] \mathcal{A}. [/mm] Beweisen Sie die sogenannte Siebformel:
Seien für [mm] i\in\{1,..., n\} A_{i}\in\mathcal{A}. [/mm] Dann gilt:
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum_{\phi\in\mathcal{P}(\{1,...,n\})\backslash\{\emptyset\}: card(\phi)=k}\mu(\bigcap_{i\in\phi}A_{i}) [/mm] |
Heyho!
Das schreit ja förmlich nach Induktion, nur kriege ich den Induktionsschritt irgendwie nicht hin...
Der Induktionsanfang ist zumindest klar.
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i})=\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\cup A_{n+1})=\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})+\mu(A_{n+1})-\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1})
[/mm]
[mm] \overbrace{=}^{IV}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum_{\phi\in\mathcal{P}(\{1,...,n\})\backslash\{\emptyset\}: card(\phi)=k}\mu(\bigcap_{i\in\phi}A_{i})+\mu(A_{n+1})-\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1})
[/mm]
[mm] \overbrace{=}^{IV}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum_{\phi\in\mathcal{P}(\{1,...,n\})\backslash\{\emptyset\}: card(\phi)=k}\mu(\bigcap_{i\in\phi}A_{i})+\mu(A_{n+1})-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum_{\phi\in\mathcal{P}(\{1,..., n\})\backslash\{\emptyset\}: card(\phi)=k}\mu(\bigcap_{i\in\phi}A_{i}\cap A_{n+1})
[/mm]
[mm] \overbrace{=}^{!}\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\sum_{\phi\in\mathcal{P}(\{1,...,n+1\})\backslash\{\emptyset\}: card(\phi)=k}\mu(\bigcap_{i\in\phi}A_{i})
[/mm]
Irgendwie erkenne ich nicht, warum das das gleiche ist, was es aber sein sollte und wahrscheinlich auch ist...
Sollte ich keinen Fehler gemacht haben: Kann man das noch anders umformen, sodass man das auch erkennen kann?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo icarus,
lass uns die Bezeichnungen vereinfachen:
Sei $T_{k,n} = \{T \subseteq \{1,\ldots,n\}| \; |T| = k)$ die Menge der $k$-elementigen Teilmengen von $\{1,\ldots,n\}$.
Jetzt kannst Du den Ausdruck
$\mu(A_{n+1}) -\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\sum\limits_{M \in T_{k,n}}\mu(\bigcap\limits_{i\in M}A_{i}\cap A_{n+1})$
auf die Form
$\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\sum\limits_{M \in T_{k,n+1}\backslash T_{k,n}}\mu(\bigcap\limits_{i\in M}A_{i})$
bringen. Dann dürfte die Gleichheit klar sein.
LG mathfunnel
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