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Hallo,
ich habe Probleme beim Verstehen einer Musterlösung einer Aufgabe.
Zunächst gebe ich die Aufgabe, dann die Musterlösung und dann mein Verständnisproblem an.
Aufgabe:
Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und [mm] \Phi [/mm] und [mm] \Psi [/mm] selbstadjungierte Endomorphismen von V. Zeigen Sie:
Bild [mm] \Phi \subset [/mm] Kern [mm] \Psi \Rightarrow \Phi \circ \Psi [/mm] ist die Nullabbildung
Musterlösung:
Vorbemerkung: Bild [mm] \Phi \subset [/mm] Kern [mm] \Psi \gdw \Psi \circ \Phi [/mm] und < * , * > steht für das Skalarprodukt.
Für alle x, y [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] <\Phi \circ \Psi(x), [/mm] y> = [mm] <\Phi(x), \Psi(y)>
[/mm]
= <x, [mm] \Psi(\Phi(y))> [/mm] = <x, [mm] \Psi \circ \Phi(y)> [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow (\Phi \circ \Psi)(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \Phi \circ \Psi [/mm] = 0
setze y := [mm] (\Phi \circ \Psi)(x)
[/mm]
< * , * > ist positiv definit.
Verständnisproblem:
Schon die erste Gleichung verstehe ich nicht.
Für alle x, y [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] <\Phi \circ \Psi(x), [/mm] y> = [mm] <\Phi(x), \Psi(y)>
[/mm]
Hier wurde laut Musterlösung die Selbstadjungiertheit von [mm] \Phi [/mm] ausgenutzt. Die Gleichung müsste dann doch wie folgt lauten:
[mm] <\Phi \circ \Psi(x), [/mm] y> = [mm] <\Psi(x), \Phi(y)>
[/mm]
Oder?
Nun gut. Zweites Problem:
Wieso wird am Ende der Lösung noch y definiert und erwähnt, dass das Skalarprodukt positiv definit ist?
setze y := [mm] (\Phi \circ \Psi)(x)
[/mm]
< * , * > ist positiv definit.
Der Beweis ist doch eigentlich schon erbracht... oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe Probleme beim Verstehen einer Musterlösung einer
> Aufgabe.
>
> Zunächst gebe ich die Aufgabe, dann die Musterlösung und
> dann mein Verständnisproblem an.
>
> Aufgabe:
> Es seien V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und
> [mm]\Phi[/mm] und [mm]\Psi[/mm] selbstadjungierte Endomorphismen von V.
> Zeigen Sie:
>
> Bild [mm]\Phi \subset[/mm] Kern [mm]\Psi \Rightarrow \Phi \circ \Psi[/mm] ist
> die Nullabbildung
>
> Musterlösung:
> Vorbemerkung: Bild [mm]\Phi \subset[/mm] Kern [mm]\Psi \gdw \Psi \circ \Phi[/mm]
Da fehlt ein $= 0$ oder?
> und < * , * > steht für das Skalarprodukt.
>
> Für alle x, y [mm]\in[/mm] V gilt:
> [mm]<\Phi \circ \Psi(x),[/mm] y> = [mm]<\Phi(x), \Psi(y)>[/mm]
> = <x,
> [mm]\Psi(\Phi(y))>[/mm] = <x, [mm]\Psi \circ \Phi(y)>[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow (\Phi \circ \Psi)(x)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \Phi \circ \Psi[/mm]
> = 0
>
> setze y := [mm](\Phi \circ \Psi)(x)[/mm]
> < * , * > ist positiv
> definit.
>
> Verständnisproblem:
> Schon die erste Gleichung verstehe ich nicht.
>
> Für alle x, y [mm]\in[/mm] V gilt:
> [mm]<\Phi \circ \Psi(x),[/mm] y> = [mm]<\Phi(x), \Psi(y)>[/mm]
Das ist wohl ein Tippfehler, gemeint ist, wie du schreibst, [mm]<\Psi(x), \Phi(y)>[/mm]
Ansonsten waer das naechste Gleichheitszeichen auch nicht richt.g
> Oder?
>
> Nun gut. Zweites Problem:
>
> Wieso wird am Ende der Lösung noch y definiert und erwähnt,
> dass das Skalarprodukt positiv definit ist?
>
> setze y := [mm](\Phi \circ \Psi)(x)[/mm]
> < * , * > ist positiv
> definit.
Damit wird begruendet, warum aus [mm] $<\Phi \circ \Psi(x)> [/mm] = 0$ denn [mm] $\Phi \circ \Psi(x) [/mm] = 0$ folgt.
Die "Muesterloesung" ist allerdings extrem schlecht aufgeschrieben.
Hier nochmal in besserer Form:
Fuer alle $x, y [mm] \in [/mm] V$ gilt [mm] $\langle \Phi \circ \Psi(x), [/mm] y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \Psi(x), \Phi(y) \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, [mm] Psi(\Phi(y)) \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, [mm] \Psi \circ \Phi(y) \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, 0 [mm] \rangle [/mm] = 0$.
Setze nun $y := [mm] \Phi \circ \Psi(x)$; [/mm] dann gilt somit [mm] $\langle [/mm] y, y [mm] \rangle [/mm] = 0$. Da [mm] $\lange \cdot, \cdot \rangle$ [/mm] positiv definit ist muss also $y = 0$ sein.
LG Felix
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