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| Aufgabe | Projektionen sind selbstadjungiert: Es sei V = U [mm] \oplus U^\perp. [/mm] Für v, w [mm] \in [/mm] V haben wir dann eine eindeutige Zerlegung v = [mm] v_1+v_2, [/mm] w = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] mit [mm] v_1, w_1 \in [/mm] U, [mm] v_2, w_2 \in U^\perp. [/mm] Ist F die Orthogonalprojektion auf den Untervektorraum U, so gilt
<F(v), w> = [mm] [/mm] = <v, [mm] w_1> [/mm] = <v, f(w)>. |
Diese steht in unserm Script als Beispiel für Selbst adjungierte Endomorphismen.
1- Orthogonalprojektionen sind kein Endomorphismus. Wie können die Selbstadjungiert sein oder sind die Endomorphismen?
Falls ja. Warum?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Projektionen sind selbstadjungiert: Es sei V = U [mm]\oplus U^\perp.[/mm]
> Für v, w [mm]\in[/mm] V haben wir dann eine eindeutige Zerlegung v
> = [mm]v_1+v_2,[/mm] w = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm] mit [mm]v_1, w_1 \in[/mm] U, [mm]v_2, w_2 \in U^\perp.[/mm]
> Ist F die Orthogonalprojektion auf den Untervektorraum U,
> so gilt
>
> <F(v), w> = [mm][/mm] = <v, [mm]w_1>[/mm] = <v, f(w)>.
> Diese steht in unserm Script als Beispiel für Selbst
> adjungierte Endomorphismen.
>
> 1- Orthogonalprojektionen sind kein Endomorphismus. Wie
> können die Selbstadjungiert sein oder sind die
> Endomorphismen?
> Falls ja. Warum?
Es sind Endomorphismen: es sind Abbildungen $V [mm] \to [/mm] V$. Ihr Bild liegt vollstaendig in $U$, aber $U$ liegt in $V$.
LG Felix
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