Selbstadjungierte Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer (unitärer) Vektorraum [mm] \alpha, \beta [/mm] 2 selbstadjungierte Endomorphisen auf V.
Beweisen Sie, dass [mm] \alpha \circ \beta [/mm] genau dann selbstadjungiert ist, wenn [mm] \alpha \circ \beta [/mm] = [mm] \beta \circ \alpha [/mm] |
Hallo,
Also ich hab mal so angefangen: "=>": Sei [mm] \alpha \circ \beta [/mm] selbstadjungiert, dann folgt für alle u, v aus V gilt: < [mm] \alpha \circ \beta(u) [/mm] ,v> = [mm] . [/mm] Nur wie könnt ich nun dises Skalarprodukt so umformen, dass ich die Kommutativität von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zeigen kann?
Bin absolut ratlos wie ich hier nun weiter mache.
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein euklidischer (unitärer) Vektorraum [mm]\alpha, \beta[/mm]
> 2 selbstadjungierte Endomorphisen auf V.
> Beweisen Sie, dass [mm]\alpha \circ \beta[/mm] genau dann
> selbstadjungiert ist, wenn [mm]\alpha \circ \beta[/mm] = [mm]\beta \circ \alpha[/mm]
> Hallo,
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> Also ich hab mal so angefangen: "=>": Sei [mm]\alpha \circ \beta[/mm]
> selbstadjungiert, dann folgt für alle u, v aus V gilt: <
> [mm]\alpha \circ \beta(u)[/mm] ,v> = [mm].[/mm] Nur
> wie könnt ich nun dises Skalarprodukt so umformen, dass
> ich die Kommutativität von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] zeigen kann?
> Bin absolut ratlos wie ich hier nun weiter mache.
$< [mm] \alpha \circ \beta(u) [/mm] ,v> = [mm] = <\alpha(u), \beta(v)>= <\beta \circ \alpha(u),v [/mm] >$
Also:
$< [mm] \alpha \circ \beta(u) [/mm] ,v>= [mm] <\beta \circ \alpha(u),v [/mm] >$ für alle u und v
Es folgt: $ [mm] \alpha \circ \beta [/mm] $ = $ [mm] \beta \circ \alpha [/mm] $
FRED
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> Vielen Dank schon mal im voraus.
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 09.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke soweit, aber nach welchen Regeln gilt denn:
> [mm]< \alpha \circ \beta(u) ,v> = = <\alpha(u), \beta(v)>= <\beta \circ \alpha(u),v >[/mm]
>
Vor allem das 3. und 4. Gleicheitszeichen?
Eine Sesquilinearform sagt ja nur: Für alle u,v,w, x aus V und [mm] \delta [/mm] aus K gilt:
1. <u+v, w> = <u,w> + <v, w>
2. [mm] <\delta [/mm] *u, v> = [mm] \delta [/mm] <u,v>
3. <u, w+x> = <u,w> + <u,x>
4. <u, [mm] \delta [/mm] *w> = [mm] \overline{\delta} [/mm] <u,w>
Und des weiteren is die Sesquilineaform ja noch hermitesch und positiv definit, damit Sie ein Skalarprodukt definiert...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke soweit, aber nach welchen Regeln gilt denn:
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> > [mm]< \alpha \circ \beta(u) ,v> = = <\alpha(u), \beta(v)>= <\beta \circ \alpha(u),v >[/mm]
>
> >
> Vor allem das 3. und 4. Gleicheitszeichen?
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind doch selbstadjungiert !
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> Eine Sesquilinearform sagt ja nur: Für alle u,v,w, x aus V
> und [mm]\delta[/mm] aus K gilt:
> 1. <u+v, w> = <u,w> + <v, w>
> 2. [mm]<\delta[/mm] *u, v> = [mm]\delta[/mm] <u,v>
> 3. <u, w+x> = <u,w> + <u,x>
> 4. <u, [mm]\delta[/mm] *w> = [mm]\overline{\delta}[/mm] <u,w>
> Und des weiteren is die Sesquilineaform ja noch hermitesch
> und positiv definit, damit Sie ein Skalarprodukt
> definiert...
Wir setzen T = [mm] \alpha \circ \beta [/mm] und S = [mm] \beta \circ \alpha [/mm] und haben (s.o.):
$<(T-S)(u),v>= 0 $ für alle u und v
Wähle v = (T-S)u, so ergibt sich: $<(T-S)(u),(T-S)(u)>= 0 $ für alle u , also
(T-S)(u)= 0 für alle u
und somit T=S
FRED
>
> Viele Grüße
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