Seitenlängen einer Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
| Aufgabe | Von der Spitze einer ägyptischen Pyramide(gleichseitig) wird von der Spitze aus senkrecht über eine Strecke von 9 Metern nach unten gegraben. Von diesem Punkt ist der Abstand zu jeder Ecke der Grundfläche auch exakt 9 Meter.
Wie lang sind die Seiten der Grundfläche sowie die Kantenlängen der Pyramide? (Mit der Bedingung, dass beide Werte ganzzahlig sein müssen) |
Ist diese Aufgabe so gestellt überhaupt möglich? Müsste nicht mindestens noch eine Winkelangabe vorgegeben sein? Dann könnte die Kantenlänge ja recht einfach berechnet werden
Beste Grüße
Maxi Max
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mi 02.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Von der Spitze einer ägyptischen Pyramide(gleichseitig)
> wird von der Spitze aus senkrecht über eine Strecke von 9
> Metern nach unten gegraben. Von diesem Punkt ist der
> Abstand zu jeder Ecke der Grundfläche auch exakt 9 Meter.
Deine Angaben interpretiere ich mal so, dass du in die große Pyramide eine "kleine Pyramide" einbaust.
[Dateianhang nicht öffentlich]
All die roten Kanten sind 9m lang.
Du bekommst also eine Menge gleichschenklige Dreiecke.
Ist das soweit korrekt?
> Wie lang sind die Seiten der Grundfläche sowie die
> Kantenlängen der Pyramide? (Mit der Bedingung, dass beide
> Werte ganzzahlig sein müssen)
Überlege mal, welche Spitzenwinkel [mm] \delta [/mm] in einem gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge 9m zu einer ganzzahligen Basis führen.
Für die Basiswinkel [mm] \alpha [/mm] gilt ja:
[mm] \alpha=\frac{180-\delta}{2}
[/mm]
Nennen wir die Basis deiner gleichschenkligen Dreiecke mal b, dann gilt, in dem gleichschenkligen Dreieck:
[mm] \cos(\alpha)=\frac{\frac{b}{2}}{9}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow b=18\cdot\cos(\alpha)
[/mm]
Bedenke auch, dass b<18 sein muss, denn sonst kannst du das gleichseitige Dreieck nicht erstellen (Die Summe der beiden kurzen Seiten ist größer als die längste Seite.
Für welche Winkel [mm] \alpha [/mm] ist b nun ganzzahlig?
> Ist diese Aufgabe so gestellt überhaupt möglich? Müsste
> nicht mindestens noch eine Winkelangabe vorgegeben sein?
Die kannst du dir uber die Forderung, dass die Basis der gleichseitigen Dreiecke gannzahlig sein soll, ermitteln. Es gibt sicher nicht nur eine Möglichkeit
> Dann könnte die Kantenlänge ja recht einfach berechnet
> werden
>
> Beste Grüße
> Maxi Max
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
> > Ist diese Aufgabe so gestellt überhaupt möglich?
>
> Die kannst du dir über die Forderung, dass die Basis der
> gleichseitigen Dreiecke ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
gemeint wahren doch wohl gleichschenklige ...
> ganzzahlig sein soll, ermitteln. Es
> gibt sicher nicht nur eine Möglichkeit
>
> > Dann könnte die Kantenlänge ja recht einfach berechnet
> > werden
Hallo ihr beiden,
falls "nur" die Grundkante der Pyramide ganzzahlig
sein soll, kommen für ihre Länge eigentlich die
Werte 1,2,3, ..... , 17 in Frage. (***)
Falls ich richtig verstanden habe, soll aber auch
die Länge der Seitenkanten ganzzahlig sein.
Diese zusätzliche Forderung könnte eventuell
dazu führen, dass es am Ende überhaupt keine
Lösung gibt ...
LG , Al-Chwarizmi
(***) Ergänzung:
Effektiv kommen nur die Werte 1,2,3, ..... ,12
in Frage. Dies wird klar, wenn man ein Seiten-
dreieck der kleinen quadratischen (Innen-)
Pyramide betrachtet. Es hat zwischen den
beiden Schenkeln (der Länge 9) einen spitzen
Winkel; deshalb muss seine Basis kleiner als
$\ [mm] 9*\sqrt{2}\ \approx\ [/mm] 12.7$ sein .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort. Aber dann müsste ich ja alle möglichen Werte für den Winkel einsetzen ?! Wenn ich das ganze in einem Excel File mache mit Winkeln von 0,01-89,99 Grad erhalte ich dafür aber keine Ganze Zahl.
Oder wie wäre dein Ansatz dafür?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mi 02.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort. Aber
> dann müsste ich ja alle möglichen Werte für den Winkel
> einsetzen ?! Wenn ich das ganze in einem Excel File mache
> mit Winkeln von 0,01-89,99 Grad erhalte ich dafür aber
> keine Ganze Zahl.
> Oder wie wäre dein Ansatz dafür?
Hallo,
das ist eine simple Pythagoras-Angelegenheit.
Wir suchen ganze Zahlen a und s und eine reelle Zahl h, mit denen beispielsweise die Gleichung
[mm](h+9)^2+(\frac{\sqrt2}{2}*a)^2=s^2[/mm] und auch die Gleichung [mm]9^2=h^2+(\frac{\sqrt2}{2}*a)^2[/mm] erfüllt ist.
(h ist die um 9 Einheiten gekürzte Ausgangshöhe).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
Ich glaub ich habe da grade ein Brett vorm Kopf, da du hier von simpel sprichst...Ich verstehe nicht wie man aus den 2 Formeln auf die 3 unbekannten (a,s,h) schliessen kann??
viele grüße
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Wir suchen ganze Zahlen a und s und eine reelle Zahl h,
mit denen die Gleichung
(1) $ [mm] (h+9)^2+(\frac{\sqrt2}{2}\cdot{}a)^2=s^2 [/mm] $
und auch die Gleichung
(2) $ [mm] 9^2=h^2+(\frac{\sqrt2}{2}\cdot{}a)^2 [/mm] $
erfüllt ist.
> Ich glaub ich habe da grade ein Brett vorm Kopf, da du hier
> von simpel sprichst...Ich verstehe nicht wie man aus den 2
> Formeln auf die 3 unbekannten (a,s,h) schliessen kann??
Hallo maximax,
a kann nur die ganzzahligen Werte von 1 bis und mit 12
annehmen.
Du kannst die Gleichung (2) nach h auflösen und damit
in einer TK die den a-Werten zugehörigen h berechnen.
Mittels Gleichung (1) kannst du dann in einer weiteren
Kolonne der TK die zugehörigen s-Werte berechnen
lassen. Und dann schaust du, ob auch ganzzahlige s
entstanden sind.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
aber da kommen keine ganzzahligen werte raus, was mache ich dann?
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> aber da kommen keine ganzzahligen werte raus, was
> mache ich dann?
Dann formulierst du genau dies als Ergebnis: es gibt
keine Lösung (vorausgesetzt, dass wir die Aufgaben-
stellung richtig verstanden haben) !
Natürlich gehört dann auch die Begründung dieser
Antwort dazu - allenfalls mit Excel-Blatt.
LG , Al-Chw.
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> aber da kommen keine ganzzahligen werte raus, was mache ich
> dann?
Hallo maximax,
ich sollte dich doch noch auf etwas hinweisen,
was ich zuerst auch selber übersehen habe:
h könnte auch negativ sein !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mi 02.10.2013 | | Autor: | abakus |
[mm]> Wir suchen ganze Zahlen a und s und eine reelle Zahl h,
> mit denen die Gleichung
>
> (1) [mm](h+9)^2+(\frac{\sqrt2}{2}\cdot{}a)^2=s^2[/mm]
>
> und auch die Gleichung
>
> (2) [mm]9^2=h^2+(\frac{\sqrt2}{2}\cdot{}a)^2[/mm]
>
> erfüllt ist.
>
>
>
> > Ich glaub ich habe da grade ein Brett vorm Kopf, da du hier
> > von simpel sprichst...Ich verstehe nicht wie man aus den 2
> > Formeln auf die 3 unbekannten (a,s,h) schliessen kann??
>
>
> Hallo maximax,
>
> a kann nur die ganzzahligen Werte von 1 bis und mit 12
> annehmen.
> Du kannst die Gleichung (2) nach h auflösen und damit
> in einer TK die den a-Werten zugehörigen h berechnen.
> Mittels Gleichung (1) kannst du dann in einer weiteren
> Kolonne der TK die zugehörigen s-Werte berechnen
> lassen. Und dann schaust du, ob auch ganzzahlige s
> entstanden sind.
>
> LG , Al-Chw.
>
>
Geht das nicht auch ohne TK?
Man kann beide Gleichungen nach [mm](\frac{\sqrt2}{2}\cdot{}a)^2[/mm] auflösen und gleichsetzen zu
[mm]s^2-(h+9)^2=81-h^2[/mm]
Daraus wird
[mm]s^2-h^2-18h-81=81-h^2[/mm]
[mm]s^2-18h=162[/mm]
[mm]h=\frac{s^2}{18}-9[/mm]
[mm]h^2=\frac{s^4}{18^2}-s^2+81[/mm]
In (2) eigesetzt:
[mm]81=\frac{s^4}{18^2}-s^2+81+\frac{a^2}{2}[/mm]
[mm]0=\frac{s^4}{18^2}-s^2+\frac{a^2}{2}[/mm][mm]
[/mm]
[mm]0=s^4-324s^2+162a^2[/mm]
Dann ist [mm]s^2=162\pm\sqrt{162*(162-a^2)}[/mm]
Damit der Radikant eine Quadratzahl ist, muss [mm] $162-a^2$ [/mm] das Doppelte einer Quadratzahl sein.
Das geht für a=12 ebenso wie für a=8.
Für diese beiden Werte a muss man schauen, ob s dann eine natürliche Zahl ist.
Gruß Abakus
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Hallo Abakus,
ich habe mich zunächst auch etwas mit den Gleichungen
herumgeschlagen - aber schließlich fand ich, dass man
angesichts der wenigen möglichen Fälle für die Grund-
kantenlänge alles auch leicht mittels Tabelle klären
könnte.
Ich habe ja nicht behauptet, dass man es so machen
müsse ...
Ich bin aber gespannt, ob du die neue Aufgabe, die
ich gerade hier reingestellt habe, ebenfalls allein
mit Papier, Stift und Köpfchen lösen wirst ...
Die Benutzung eines Abakus können wir dir aber
selbstverständlich nicht verbieten ! ... 
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Fr 04.10.2013 | | Autor: | maximax |
Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu. Gibt es eventuell noch einen anderen Ansatz, um die Aufgabe zu lösen? Es gibt dafür nämlich definitiv eine Lösung!
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> Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu. Gibt es
> eventuell noch einen anderen Ansatz, um die Aufgabe zu
> lösen? Es gibt dafür nämlich definitiv eine Lösung!
Hallo,
hast Du denn Al-Charizmis Idee, daß die Höhe der Pyramide kleiner als 9m ist, der Endpunkt der Bohrung also unter der Erdoberfläche liegt, auch verfolgt?
Wenn auch dies keine ganzzahlige Lösung für s und a hat, wird's wohl bei der hier bearbeiteten Aufgabenstellung (quadratische, gerade Pyramide) keine geben.
LG Angela
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> Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu.
Probier's mal mit a=8 , s=6 , h=-7 (Bezeichnungen
von Abakus) .
> Gibt es eventuell noch einen anderen Ansatz, um
> die Aufgabe zu lösen? Es gibt dafür nämlich
> definitiv eine Lösung!
Natürlich gäbe es auch andere Arten, die Lösung
aufzugleisen - aber der Weg, den Abakus gezeigt
hat, führt jedenfalls (so wie jeder "richtige" Weg)
zum Ziel.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Fr 04.10.2013 | | Autor: | maximax |
Der "Bohrungspunkt" muss aber innerhalb der Pyramide liegen!
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> Der "Bohrungspunkt" muss aber innerhalb der Pyramide
> liegen!
Wer sagt das?
LG Angela
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> Der "Bohrungspunkt" muss aber innerhalb der Pyramide
> liegen!
Wer sagt das ?
Ich vermute sogar, dass da absichtlich von einer
"ägyptischen" Pyramide die Rede war, weil jeder
weiß, dass solche Bauwerke auf der Erde stehen,
in die hinein man eine Bohrung weiterführen
könnte, auch unter die Grundfläche der Pyramide
selber ... Vielleicht wollte der Aufgabensteller
jedoch genau diese Möglichkeit gerade nicht allzu
offensichtlich darstellen, um der Aufgabe das
"gewisse besondere Etwas" zu belassen.
Im Vergleich zu den bekannten (großen) ägyptischen
Pyramiden erweist sich "unsere" Pyramide allerdings
als ziemlich klein (nur 2 m hoch) und zu wenig steil ...
LG , Al-Chw.
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> Im Vergleich zu den bekannten (großen) ägyptischen
> Pyramiden erweist sich "unsere" Pyramide allerdings
> als ziemlich klein (nur 2 m hoch) und zu wenig steil
Naja, das ist halt mal eine Pyramide, die geeignet ist für den Reihenhausgarten am Stadtrand.
Wenn's doch heutzutage auch Lachs beim Discounter gibt...
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Fr 04.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu.
Sicher???
Für a=8 erhalte ich s=6.
Gruß Abakus
> Gibt es
> eventuell noch einen anderen Ansatz, um die Aufgabe zu
> lösen? Es gibt dafür nämlich definitiv eine Lösung!
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> > Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu.
>
> Sicher???
> Für a=8 erhalte ich s=6.
>
> Gruß Abakus
Hallo,
das kann nicht sein:
für a=8 erhalte ich (mit Deinen Bezeichnungen) h=7,
also ist die Höhe h' der großen Pyramide h'=16.
Da kann die Hypotenuse s nicht die Länge 6 haben.
LG Angela
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> > > Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu.
> >
> > Sicher???
> > Für a=8 erhalte ich s=6.
> >
> > Gruß Abakus
>
> Hallo,
>
> das kann nicht sein:
>
> für a=8 erhalte ich (mit Deinen Bezeichnungen) h=7,
> also ist die Höhe h' der großen Pyramide h'=16.
> Da kann die Hypotenuse s nicht die Länge 6 haben.
>
> LG Angela
Hallo Angela,
Abakus hatte für h die Gleichung $ [mm] h^2=\frac{s^4}{18^2}-s^2+81 [/mm] $
welche eben zwei Möglichkeiten zulässt.
Hier brauchen wir (um ein ganzzahliges s zu
erhalten) den Wert h=-7 und damit h'=9-7=2 .
Dies ist dann eben die Höhe der Vorgarten-Pyramide ...
LG , Al
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> Hallo Angela,
>
> Abakus hatte für h die Gleichung
> [mm]h^2=\frac{s^4}{18^2}-s^2+81[/mm]
> welche eben zwei Möglichkeiten zulässt.
> Hier brauchen wir (um ein ganzzahliges s zu
> erhalten) den Wert h=-7 und damit h'=9-7=2 .
> Dies ist dann eben die Höhe der Vorgarten-Pyramide ...
>
> LG , Al
Ja.
Ich war mir aber sicher, daß abakus ein Verfechter der ägyptischen Oberschicht-Pyramide ist, also mit positivem h.
Die Vorgarten-Pyramide hatten wir ja schon.
LG Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 04.10.2013 | | Autor: | abakus |
> > > Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu.
> >
> > Sicher???
> > Für a=8 erhalte ich s=6.
> >
> > Gruß Abakus
>
> Hallo,
>
> das kann nicht sein:
>
> für a=8 erhalte ich (mit Deinen Bezeichnungen) h=7,
> also ist die Höhe h' der großen Pyramide h'=16.
> Da kann die Hypotenuse s nicht die Länge 6 haben.
>
> LG Angela
>
Hallo Angela,
danke für den Hinweis. Ich bin nicht weiter in die Tiefe gegangen und habe das "Das trifft aber weder für 12 noch für 8 zu" dahingehend interpretiert, dass meine biquadratische Gleichung angeblich keine ganzzahlige Lösung mit a und s hätte.
Die Folgerung für h hatte ich dabei noch nicht beachtet.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
@ Al-Chwarizmi : das hast du richtig verstanden: in der Skizze müssen alle schwarzen Kanten ganzzahlig sein!
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Hallo MaxiMax,
> Von der Spitze einer ägyptischen Pyramide(gleichseitig)
nur um Missverständnissen vorzubeugen: du meinst
wohl einfach, dass es sich um eine gerade Pyramide
mit quadratischer Grundfläche handeln soll (und nicht
etwa auch noch, dass die Seitendreiecke gleichseitig
sein sollen ...)
> wird von der Spitze aus senkrecht über eine Strecke von 9
> Metern nach unten gegraben. Von diesem Punkt ist der
> Abstand zu jeder Ecke der Grundfläche auch exakt 9 Meter.
> Wie lang sind die Seiten der Grundfläche sowie die
> Kantenlängen der Pyramide? (Mit der Bedingung, dass beide
> Werte ganzzahlig sein müssen)
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Mi 02.10.2013 | | Autor: | maximax |
genau! ;) sorry für die unpräzise angabe
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