Seiten & Lot & Flächeninhalt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 08.10.2009 | | Autor: | exec |
| Aufgabe | Ein Dreieck hat die Eckpunkte A (-3|1), B (0|0) und C (-1,5|4).
a) Berechnen Sie die Länge der Seite AC und ihren Mittelpunkt.
b) Vom Punkt C wird das Lot auf AB gefällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. |
a) Länge der Seite AC:
[mm]AC=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
[mm]AC=\wurzel{(-1,5-(-3))^2+(4-1)^2}[/mm]
[mm]AC=\bruch{3\wurzel{5}}{2}[/mm]
Mittelpunkt der Seite AC:
[mm]x_M=\bruch{x_1+x_2}{2}[/mm]
[mm]x_M=\bruch{-3-1,5}{2}[/mm]
[mm] x_M=-2,25
[/mm]
[mm] y_M=\bruch{y_1+y_2}{2}
[/mm]
[mm] y_M=\bruch{1+4}{2}
[/mm]
[mm] y_M=2,5
[/mm]
M (-2,25|2,5) der Seite AC
b) Geradengleichung aufstellen (Seite AB):
y=mx+b
[mm] y=-\bruch{1}{3}x
[/mm]
Geradengleichung aufstellen (Lot):
y=mx+b
y=3x+b
-> Punkt C einsetzen
4=3*(-1,5)+b
b=8,5
y=3x+8,5
-> Geraden gleichsetzen
[mm] 3x+8,5=-\bruch{1}{3}x [/mm] |*(-3)
x=-9x-25,5 |+9x
10x=-25,5 |:10
x=-2,55
-> x in eine Geradengleichung einsetzen
y=3*(-2,55)+8,5
y=0,85
Koordinaten des Lotfußpunktes P (-2,55|0,85)
c) Seite AB berechnen:
[mm]AB=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
[mm]AB=\wurzel{(0-(-3))^2+(0-1)^2}[/mm]
[mm]AB=\wurzel{10}[/mm]
Seite BC berechnen:
[mm]BC=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
[mm]BC=\wurzel{(-1,5-0)^2+(4-0)^2}[/mm]
[mm]BC=\bruch{\wurzel{73}}{2}[/mm]
Heronsche Flächenformel:
[mm] s=\bruch{a+b+c}{2}
[/mm]
-> BC,AC,AB einsetzen (Formeleditor streikt, sorry)
[mm] s\approx5,39419075
[/mm]
[mm] A=\wurzel{s(s-a)(s-b)(s-c)}
[/mm]
[mm] A=\wurzel{5,39419075(5,39419075-\bruch{\wurzel{73}}{2})(5,39419075-\bruch{3*\wurzel{5}}{2})(5,39419075-\wurzel{10})}
[/mm]
[mm] A\approx5,250000002
[/mm]
Fragen:
- Stimmen die Ergebnisse?
- Gibt es eine schnellere und/oder einfachere Methode um den Flächeninhalt auszurechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
exec
|
|
| |
|
Hallo, ich habe ebenso deine Ergebnisse erhalten, gebe c) in einer sinnvollen Genauigkeit an, den Flächeninhalt kannst du z.B. auch über [mm] A=\bruch{1}{2}*a*b*sin(\gamma) [/mm] berechnen, du benötigst also einen Winkel, ob es schneller ist, habe ich nicht ausprobiert, ob es einfacher ist, liegt in deiner Entscheidung, die schnellste Variante wird über die Grundseite [mm] \overline{AB} [/mm] und die Höhe gehen, [mm] \overline{AB} [/mm] hast du schon, dann noch den Abstand von C und dem Lotfußpunkt berechnen, den Lotfußpunkt hast du ja auch schon, dann [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h, [/mm] Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Fr 09.10.2009 | | Autor: | exec |
Hallo,
ersteinmal vielen Dank für deine Antwort 
Habe nun probeweise die Aufgabe c mit Seite AB und mit dem Abstand von C auf den Lotfußpunkt ([mm]\overline{CP}[/mm]) gerechnet und habe ein anderes Ergebnis für den Flächeninhalt erhalten.
(Setze dort ein, wo sich die Rechnung verändert, für das vorherige siehe meine erste Frage)
[mm]\overline{CP}=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
[mm]\overline{CP}=\wurzel{(-2,55-(-1,5))^2+(0,85-4)^2}[/mm]
[mm]\overline{CP}=\bruch{21\wurzel{10}}{20}[/mm]
[mm]A=\bruch{c*h_c}{2}[/mm]
[mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm]
[mm]A=52,5[/mm]
im Vergleich dazu, die Lösung von der ersten Methode:
[mm]A=5,250000002
A\approx5,25[/mm]
Gruß
exec
|
|
|
| |
|
Hallo exec,
> Hallo,
>
> ersteinmal vielen Dank für deine Antwort
>
> Habe nun probeweise die Aufgabe c mit Seite AB und mit dem
> Abstand von C auf den Lotfußpunkt ([mm]\overline{CP}[/mm])
> gerechnet und habe ein anderes Ergebnis für den
> Flächeninhalt erhalten.
>
> (Setze dort ein, wo sich die Rechnung verändert, für das
> vorherige siehe meine erste Frage)
>
> [mm]\overline{CP}=\wurzel{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/mm]
>
> [mm]\overline{CP}=\wurzel{(-2,55-(-1,5))^2+(0,85-4)^2}[/mm]
>
> [mm]\overline{CP}=\bruch{21\wurzel{10}}{20}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{c*h_c}{2}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm]
Das muss doch hier so lauten:
[mm]A=\bruch{\wurzel{10}*\bruch{21\wurzel{10}}{2\red{0}}}{2}[/mm]
>
> [mm]A=52,5[/mm]
>
> im Vergleich dazu, die Lösung von der ersten Methode:
>
> [mm]A=5,250000002
A\approx5,25[/mm]
>
> Gruß
> exec
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 09.10.2009 | | Autor: | exec |
Nachtrag: Habe den Fehler erkannt, habe statt
[mm]A=\bruch{\wurzel{10}\cdot{}\bruch{21\wurzel{10}}{20}}{2}[/mm]
[mm]A=\bruch{\wurzel{10}\cdot{}\bruch{21\wurzel{10}}{2}}{2}[/mm] verwendet.
|
|
|
|
