Scorefkt. & Fisherinformation < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:04 Mi 11.01.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig und identisch wie $X$ verteilte Zufallsvariablen.
(a) [mm] $X\sim \operatorname{Bin}(1,p)$
[/mm]
(b) [mm] $X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ [/mm] mit [mm] $\sigma^2$ [/mm] bekannt und [mm] $\mu$ [/mm] unbekannt.
Berechne in beiden Fällen die Scorefunktion und die Fisher-Information. |
Hallo, ich hab mich mal daran versucht.
Wenn ich das richtig verstehe, so ist die Scorefunktion einfach die erste Ableitung der log-Likelihood-Funktion nach dem Parameter.
(a)
[mm] $L(x_1,...,x_n|p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}\prod_{i=1}^{n}(1-p)^{1-x_i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \log L(x_1,...,x_n|p)=\sum_{i=1}^{n}[x_i\log(p)]+\sum_{i=1}^{n}[(1-x_i)\log(1-p)]$
[/mm]
Dann ist die erste Ableitung, also die Scorefkt.:
[mm] $\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{n}[x_i]+\frac{1}{p-1}\sum_{i=1}^{n}[1-x_i]$
[/mm]
Stimmt das so, ich frage lieber erst, ob ich Scorefkt. richtig verstanden habe, bevor ich ewig damit falsch weiterrechne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 00:05 Do 12.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Lautet die Fisherinformation zu (a)
[mm] $\frac{n}{p(1-p)}$?
[/mm]
Ich komme darauf, weil ich einfach (wegen der Unabhängigkeit der [mm] $X_i$) [/mm] die Fisherinformation für jedes der [mm] $X_i$ [/mm] ausgerechnet habe - was [mm] $\frac{1}{p(1-p)}$ [/mm] ist - und dann mit $n$ multipliziert habe.
Daß dies geht, habe ich bei dem Wikipedia-ArtikelzurFisherinformation gelesen; nämlich dann, wenn der Erwartungswert der Scorefunktion (die ich oben berechnet habe) identisch 0 ist, was hier der Fall ist.
Liege ich damit richtig?
Edit: Für (b) habe ich übrigens als Scorefkt. [mm] $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i-\mu}{\sigma^2}$ [/mm] und als Fisherinformation [mm] $\frac{n}{\sigma^2}$ [/mm] heraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 14.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
