Schwierige Ableitungsaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
[mm] $f(x)=x^{(x^{x})}$ [/mm] $(x>0)$ |
Hallo.
Diese Aufgabe ist meiner Meinung nach die schwerste von allen...
Ich gehe folgendermaßen vor, aber verirre mich nach einigen Schritten:
[mm] $f(x)=x^{(x^{x})}=e^{x^{x}*\ln x}=e ^{e^{x*\ln x}*\ln x}$
[/mm]
[mm] $\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{g(x)}*g'(x)$
[/mm]
[mm] $g(x)=e^{x*\ln x}*\ln [/mm] x$
Behandle $g(x)$ mit der Produktregel:
[mm] $g'(x)=e^{x*\ln x}*(\ln [/mm] x + [mm] x*\bruch{1}{x})*\ln [/mm] x + [mm] e^{x*\ln x}*\bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=e^{x*\ln x}*(\ln x+1)*\ln [/mm] x + [mm] \bruch{e^{x*\ln x}}{x}$
[/mm]
[mm] $=e^{x*\ln x}*((\ln x)^{2}+\ln x)+\bruch{e^{x*\ln x}}{x}$
[/mm]
[mm] $=e^{x*\ln x}*\ln x+e^{x*\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x*\ln x}}{x}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=x^{(x^{x})}*\left( x^{(x^{x})}+e^{x*\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x*\ln x}}{x} \right)$
[/mm]
Ich kann mir nicht vorstellen, dass dieser Weg richtig ist, deshalb meine Frage:
Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
>
> [mm]f(x)=x^{(x^{x})}[/mm] [mm](x>0)[/mm]
> Hallo.
> Diese Aufgabe ist meiner Meinung nach die schwerste von
> allen...
>
> Ich gehe folgendermaßen vor, aber verirre mich nach
> einigen Schritten:
>
> [mm]f(x)=x^{(x^{x})}=e^{x^{x}*\ln x}=e ^{e^{x*\ln x}*\ln x}[/mm]
>
> [mm]\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{g(x)}*g'(x)[/mm]
>
> [mm]g(x)=e^{x*\ln x}*\ln x[/mm]
>
> Behandle [mm]g(x)[/mm] mit der Produktregel:
>
> [mm]g'(x)=e^{x*\ln x}*(\ln x + x*\bruch{1}{x})*\ln x + e^{x*\ln x}*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]=e^{x*\ln x}*(\ln x+1)*\ln x + \bruch{e^{x*\ln x}}{x}[/mm]
>
> [mm]=e^{x*\ln x}*((\ln x)^{2}+\ln x)+\bruch{e^{x*\ln x}}{x}[/mm]
>
> [mm]=e^{x*\ln x}*\ln x+e^{x*\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x*\ln x}}{x}[/mm]
>
Bis hierher ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f'(x)=x^{(x^{x})}*\left( x^{(x^{x})}+e^{x*\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x*\ln x}}{x} \right)[/mm]
Hier muss es heißen:
[mm]f'(x)=x^{(x^{x})}*\left( \red{e^{x*\ln x}*\ln x}+e^{x*\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x*\ln x}}{x} \right)[/mm]
>
> Ich kann mir nicht vorstellen, dass dieser Weg richtig ist,
> deshalb meine Frage:
> Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Di 30.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, MathePower.
Der Vollständigkeit halber der weitere Lösungsweg:
[mm] $f'(x)=x^{(x^{x})}*\left( e^{x*\ln x}*\ln x+e^{x\ln x}*(\ln x)^{2}+\bruch{e^{x\ln x}}{x} \right)$
[/mm]
[mm] $=x^{(x^{x})}*\left( x^{x}*\ln x+x^{x}*(\ln x)^{2}+\bruch{x^{x}}{x} \right)$
[/mm]
[mm] $=x^{(x^{x})}*x^{x}*\left( \ln x+(\ln x)^{2}+\bruch{1}{x} \right)$
[/mm]
[mm] $=x^{(x^{x})}*x^{x}*\left( (\ln x+1)*\ln x+\bruch{1}{x} \right)$
[/mm]
[mm] $=x^{(x^{x}+x-1)}*\left( x\ln (x)^{2}+x\ln (x)+1 \right)$ [/mm] q.e.d.
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