Schwerpunkt / Trägheitsmoment < Bauingenieurwesen < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Von folgendem Querschnitt ist folgendes zu berechnen:
- Die Koordinaten des Schwerpunktes [mm] x_{g} [/mm] und [mm] y_{g}
[/mm]
- Die Trägheitsmomente [mm] I_{y} [/mm] und [mm] I_{z}
[/mm]
- Die Trägheitsradien [mm] \delta_{y} [/mm] und [mm] \delta_{x}
[/mm]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo alle zusammen!
Also die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen ist keine Kunst, die Formel:
[mm] y_{g}= \bruch{y_{1} * A{1} + y_{2} * A{2} + y_{3} * A{3} }{A{total} } [/mm] = 2,5639*a
[mm] y_{g}= \bruch{x_{1} * A{1} + x_{2} * A{2} + x_{3} * A{3} }{A{total} } [/mm] = 1,5*a
Soweit so gut, jetzt sind die Trägheitsmomente dran, und da happert es schon gewaltig:
Also [mm] I_{y} [/mm] kann ich so berechnen = [mm] \integral_{A}^{}{x² dA}
[/mm]
Wenn ich als 1. Fläche die ganz oben bezeichne und nach unten rechne dann bekomme ich folgendes:
[mm] I_{y} [/mm] = = [mm] \integral_{2a}^{5a}{\integral_{0}^{3a}{x² dx dy}} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{2a}{\integral_{a}^{2a}{x² dx dy}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{3}{x² dx dy}} [/mm] = 115/3 * [mm] a^{4}
[/mm]
Was nicht stimmen kann, denn laut Lösung sollte folgendes herauskommen (siehe Bild) :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was mache ich heir bei der Berechnung falsch?
Ich habe es zudem mit dem Satz von Steiner versucht:
[mm] I_{y} [/mm] = bh³/12 * [mm] x_{g} [/mm] + A
Mit welchem ich auch nicht weiter gekommen bin!
Bitte um Hilfe, wir haben in 2 Wochen ene Prüfung und ich vermute es wird bis dahin im Unterricht nur kurz angesprochen werden, wie immer, und dann zur Prüfung kommen!
Dankesehr
lg
Zuggel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zuggel!
> Also die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen ist keine
> Kunst, die Formel:
>
> [mm]y_{g}= \bruch{y_{1} * A{1} + y_{2} * A{2} + y_{3} * A{3} }{A{total} }[/mm] = 2,5639*a
>
> [mm]y_{g}= \bruch{x_{1} * A{1} + x_{2} * A{2} + x_{3} * A{3} }{A{total} }[/mm] = 1,5*a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Soweit so gut, jetzt sind die Trägheitsmomente dran, und da
> happert es schon gewaltig:
>
> Also [mm]I_{y}[/mm] kann ich so berechnen = [mm]\integral_{A}^{}{x² dA}[/mm]
> Ich habe es zudem mit dem Satz von Steiner versucht:
>
> [mm]I_{y}[/mm] = bh³/12 * [mm]x_{g}[/mm] + A
Bei diesen einfachen Teilflächen solltest Du auf jeden Fall diesen Weg mittels Steiner begehen ...
Die Formel lautet jedoch: $I \ = \ [mm] \bruch{b*h^3}{12}+A*e^2$
[/mm]
Bezeichnen wir die Teilflächen von unten nach oben:
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ 3a*a \ = \ [mm] 3*a^2$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ a*a \ = \ [mm] a^2$
[/mm]
[mm] $A_3 [/mm] \ = \ 3a*3a \ = \ [mm] 9*a^2$
[/mm]
Nun also die Einzelträgheitsmomente sowie die entsprechenden Hebelarme zur Schwerlinie bei [mm] $y_s [/mm] \ = \ [mm] \bruch{69}{26}*a [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.654*a$ berechnen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel!
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> > Also die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen ist keine
> > Kunst, die Formel:
> >
> > [mm]y_{g}= \bruch{y_{1} * A{1} + y_{2} * A{2} + y_{3} * A{3} }{A{total} }[/mm]
> = 2,5639*a
> >
> > [mm]y_{g}= \bruch{x_{1} * A{1} + x_{2} * A{2} + x_{3} * A{3} }{A{total} }[/mm]
> = 1,5*a
>
>
>
>
> > Soweit so gut, jetzt sind die Trägheitsmomente dran, und da
> > happert es schon gewaltig:
> >
> > Also [mm]I_{y}[/mm] kann ich so berechnen = [mm]\integral_{A}^{}{x² dA}[/mm]
>
> > Ich habe es zudem mit dem Satz von Steiner versucht:
> >
> > [mm]I_{y}[/mm] = bh³/12 * [mm]x_{g}[/mm] + A
>
> Bei diesen einfachen Teilflächen solltest Du auf jeden Fall
> diesen Weg mittels Steiner begehen ...
>
> Die Formel lautet jedoch: [mm]I \ = \ \bruch{b*h^3}{12}+A*e^2[/mm]
>
Ich nehme an, e ist eine Zusammensetzung aus 2 Abständen, oder wie darf ich das verstehen?
> Bezeichnen wir die Teilflächen von unten nach oben:
> [mm]A_1 \ = \ 3a*a \ = \ 3*a^2[/mm]
> [mm]A_2 \ = \ a*a \ = \ a^2[/mm]
> [mm]A_3 \ = \ 3a*3a \ = \ 9*a^2[/mm]
>
> Nun also die Einzelträgheitsmomente sowie die
> entsprechenden Hebelarme zur Schwerlinie bei [mm]y_s \ = \ \bruch{69}{26}*a \ \approx \ 2.654*a[/mm]
> berechnen ...
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zuggel!
Die Größe $e_$ beschreibt den Abstand des Schwerpunktes der einzelnen Teilfächen zum Gesamtschwerpunkt.
Für die Teilfläche [mm] $A_1$ [/mm] gilt also: [mm] $e_1 [/mm] \ = \ [mm] y_s-\bruch{a}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{69}{26}*a-\bruch{1}{2}*a [/mm] \ = \ [mm] \bruch{28}{13}*a$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:15 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ok perfekt, jetzt ergibt das Ganze wohl etwas mehr Sinn! Rießen Dank!
Nun wenn ich das jetzt über die Differential Form Lösen möchte, das heißt über das Integral, dann sollte doch für Iy für die jeweilige Fläche das gleiche herauskommen als mit Steiner, oder?
Mit Steiner habe ich für Fläche 1:
[mm] I_{y}= \bruch{9577*a^{4}}{676}
[/mm]
Mit dem Integral:
[mm] I_{y}=\integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{3a}{x² dx} dy}= 9*a^{4}
[/mm]
Da stimmt etwas nicht, ist jetzt das Trägheitsmoment welches ich berechnet habe auf die falsche Achse bezogen oder habe ich bei der Integration etwas falsch gemacht?
Danke
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mi 09.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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