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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
| Aufgabe | Ein Körper entstehe durch Rotation der Funktion f(x) = 1/cos(x) im Intervall [0, a]
(mit 0 < a < [mm] \pi/2) [/mm] um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers sowie die x-Koordinate seines Schwerpunkts!
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Also das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen ist ja net schwierig, dieses lautet nach meiner Rechnung [mm] V=\pi*tan(a). [/mm] Nun habe ich in einer Formelsammlung nach dem SChwerpunkt für Rotaionskörper geschaut, nur da steht eine Formel mit einem Dreifachintegral. Leider habe ich nicht so viel Wissen, das ich mit den drei Integralen was anfangen kann oder ich sie auflösen kann. Kann mir jemand sagen, was die drei Integrale bedeuten und wie ich damit rechnen kann, um auf die Lösung zu kommen?
MFG Akat
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Hallo,
also ganz allgemein behandelt man ein Dreifachintegral genauso wie ein normales, nur integriert man dreimal hintereinander.
Du musst nur auf die Reihenfolge der Integrationen achten.
Mal ein allgemeines Beispiel:
[mm] \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} r^{4} sin(\varepsilon) [/mm] dr [mm] d\delta d\varepsilon
[/mm]
Das heißt ich integriere nach 3 Variablen, in drei verschiendenen Grenzen.
Ich gehe jetzt von außen nach innen vor, also ich integriere erst [mm] \integral_{0}^{R} r^{4} sin(\varepsilon) [/mm] dr und dann das ergebnis in den nächten (mittleren) Grenzen:
[mm] \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} r^{4} sin(\varepsilon) [/mm] dr [mm] d\delta d\varepsilon
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{2\pi} \bruch{1}{5}R^{5}sin(\varepsilon) d\delta d\varepsilon [/mm]
[mm] (sin(\varepsilon) [/mm] ist ja hier eine Konstante und muss mitgezogen werden.)
[mm] =\integral_{0}^{\pi} 2\pi\bruch{1}{5}R^{5}sin(\varepsilon) d\varepsilon [/mm]
(denn die Variable [mm] \delte [/mm] komme ja nicht vor. Nach dem Integrieren steht also [mm] \delta [/mm] da, dann die Grenen einsetzen et voila)
[mm] =4\pi \bruch{1}{5}R^{5}
[/mm]
Solltest du zu irgendeinem Schitt von dem Beispiel fragen haben, dann sag Bescheid, oder poste mir das Integral um das es geht.
Viel Erfolg,
Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Hey,
Danke erstmal. Soweit hab ich das mit den Integralen ja verstanden, ich fang jetzt, um wieder auf die Aufgabe zurückzukommen mit dem Volumen an und integrier dieses 3mal?muss mir nur meine grenzen überlegen.
Nur wie komm ich jetzt auf meine Grenzen bei diesem Rotationskörper für alle 3 Integrale? Das Volumen ist ja V = [mm] \pi*tan(a). [/mm] Integriere ich das jetzt dreimal nach a? oder setzte ich für a erstmal wieder x?
MFG Akat
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Für V bekomme ich übrigens
[mm] V=\pi(a [/mm] tan(a) + ln cos(a).
Hast du die richtige Formel für V?
V= [mm] \pi \integral_{0}^{a}{x* \bruch{1}{cos²x} dx}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Hey, also die Formel die ich verwendet habe ist [mm] V_{x} [/mm] = [mm] \pi\integral_{x=a}^{b}{f(x)^{2} dx}. [/mm] Da taucht irgendwie kein zusätzliches x auf. Welche ist jetzt richtig?
MFG Akat
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Ich bin in der Zeile verrutscht.
Deine Formel und dein Ergebnis sind richtig!!
'tschuldigung
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Die Formel für die x-Koordinate die ich gefunden habe ist:
[mm] x_{s}= \integral_{V}^{} [/mm] x dV
Das Volumen setzte sich aus den Änderungen in x- , y- und z-Richung zusammen.
Jetzt musst du nur noch die Grenzen überlegen.
In x-Richtung ist ja klar: von 0 bis a.
Und in die y Richtung kannst du vielleicht ein Symetrieargument angeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Joah, soweit bin ich auch schon gekommen, das ich mir die grenzen überlegt habe, mein problem ist nur, mit welchem term ich anfange?
Also mein Integral sieht jetzt wie folgt aus:
[mm] x_{s}=\bruch{1}{\pi*tan(a)}\integral_{0}^{a}{\integral_{1}^{\bruch{1}{cos(a)}}{\integral_{1}^{\bruch{1}{cos(a)}}{x dxdydz}}}
[/mm]
Wäre das vom anfang her richtig?weil ja im integral das Volumen nicht mehr auftaucht.
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warum beginnst du nicht immer bei 0?
Außerdem hast du eine verwirrende Reihenfolge.
Wenn du es so schreibst:
[mm] x_{s}=\bruch{1}{\pi\cdot{}tan(a)}\integral_{0}^{f(a)} \integral_{0}^{f(a)} \integral_{0}^{a} [/mm] {x dxdydz}
kannst du einfacher von innen nach außen integrieren.
Sprich das rechteste Integral gehört zur linkesten grenze. Die Mittleren gehören zusammen, und das linkeste (äußerste) Integral zur rechtesten (äußersten) Grenze.
Mach mal den innersten Schritt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Hey, soweit ist das ja klar, aber mein problem sind jetzt noch die grenzen, wenn ich mir überlege, das x im Intervall von 0-a liegt is das klar. Bei y sieht das aber für mich anders aus, denn der cos(0) ist 1. Daher versteh ich net wieso jetzt die untere grenze auf einmal 0 ist für dy. wenn dann ist doch die untere grenze f(0)? oder bin ich da auf dem falschen weg?
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ja, ich hab nicht richtig nachgedacht, tut mir leid.
ich denke in x-Richtung sind die Grenzen 0 und a
y: 1 und f(a) und z: auch 1 und f(a).
also sollte das stimmen was du vorhin schon gesagt hast.
und jetzt halt von innen nach außen integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Na ok, wie ich sehe sind wir doch an die Lösung herangekommen. Also der schwerpunkt des Rotationskörpers dürfte dann bei:
[mm] [1/2*a^2*\pi*tan(a)*(\bruch{1}{cos(a)}-1)^2;0;0] [/mm] liegen?
Vielen Dank
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ja, ist nur falsch aufgeschrieben. [mm] \pi [/mm] tan a muss auch im Nenner stehen.
Viele Grüße,
Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Hey Danke nochma für deine Hilfe, hab nun noch eine letzte Frage. Ich hab mal aus Spaß 1,5 für a eingesetzt. und dann bekomm ich einen Wert für den schwerpunkt [mm] x_{s} [/mm] raus, der über [mm] \pi/2 [/mm] liegt. Das kann doch gar net sein?
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aber a zwischen 0 und [mm] \pi/2 [/mm] sein. Ich hab mal [mm] \pi [/mm] eingesetzt, und dafür kommt 1 raus. Und das klingt ziemlich brauchbar, wenn man bedenkt wie der Körper aussieht.
Mir ist übrigens noch ein Fehler aufgefallen:
Wenn du die x-Koordinate des Schwerpunkts angibst, musst du die Nullen für y und z natürlich weglassen. Du hast ja nur eine Koordinate und keinen Punkte.
//Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Hi, wenn a im intervall von 0 < a < [mm] \pi/2 [/mm] ist, und auch nur in diesem Intervall der Rotationskörper entsteht, laut aufgabe, dann kann ich gar nicht [mm] \pi [/mm] einsetzen, weil das ja außerhalb der vorgabe liegt. 1,5 ist kleiner als [mm] \pi/2 [/mm] und somit müßte ja eig. etwas sinnvolles rauskommen, tut es aber nicht :(
MFG Triplematrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 So 04.06.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hab eben nochmal nachgerechnet, aber keinen Fehler gefunden. Spaßeshalber hab ich den Taschenrechner mal auf "Deg" gestellt, da kommt 1,6*10^(-6) raus. Das ist ja Im Intervall, aber wohl nicht richtig.
Also, ich habe jetzt keine Ahnung was falsch ist.
Tut mir leid,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 04.06.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Es kann fast nur an den Grenzen liegen, aber ich denke auch dass die so richtig sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Akat
ich hab deine Rechnung nicht kontrolliert, weil sie zu umständlich für einen Rotationskörper ist!
Siehe lieber ans Ende der Diskussion, Chrisno .
Gruss leduart
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Was ist denn deine Formel für den Schwerpunkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 So 04.06.2006 | | Autor: | Akat |
Die Formel lautet [mm] x_{s}=\bruch{1}{V}\integral{\integral{\integral{x d\nu}}}
[/mm]
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:48 Mo 05.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
Ja, das stimmt, dass meine Antwort fehlerhat ist; das mit dem Drehmoment (siehe leduarts Mitteilung zu meiner Antwort) habe ich nicht berücksichtigt.
abgesehen davon, dass Euer Rechenweg ganz interessant ist: Warum aber so kompliziert?
Zunächst:
Dass der Schwerpukt auf der x-Achse liegt, ist aufgrund der Rotationssymmetrie klar, es wird ja auch nur nach der x-Koordinate gefragt.
Vor allem aber:
Das Volumen des Rotationkörpers links vom Schwerpunkt muss doch gleich sein dem Volumen rechts davon.
Es muss also gelten:
[mm] $V_1 [/mm] = [mm] V_2$ [/mm]
[mm] $\pi\integral_{a}^{x_S}{f(x)^{2} dx} [/mm] = [mm] \pi\integral_{x_S}^{b}{f(x)^{2} dx}$
[/mm]
wobei [mm] $x_S$ [/mm] die gesuchte x-Koordinate des Schwerpunktes ist.
Das müsste sich dann nach [mm] $x_S$ [/mm] auflösen lassen, denke ich.
Oder übersehe ich was?
Ja, ich habe was übersehen...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ardik et al
Du übersiehst wirklich was! gleiches Volumen links und rechts von einem Punkt bedeutet NICHT gleiches Drehmoment! Der Schwerpunkt ist dadurch bestimmt, dass die Drehmomente der einzelnen Volumenelemente sich aufheben. die volumenelemente dV sind hier [mm] dV=\pi* f^{2}(x)dx, [/mm] die Drehmomente bezuglich x also dM=x*dV. deshalb : Schwerpunkt xs:
aus der formel von Chrisno
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mo 05.06.2006 | | Autor: | chrisno |
das sehe ich ähnlich. Will man sich das Auflösen nach [mm] x_s [/mm] ersparen, so lautet die Formel [mm]x_s = \frac{\pi}{V}\int_a^b x f(x)^2 dx[/mm].
V ist ja schon berechnet.
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