Schwerpunkt Dreieck, Seitenh. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 15.06.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Die Punkte A(-1|0|2), B(0|1|0) und C(2|3|5) bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks ABC. |
Hallo Zusammen,
um den Schwerpunkt zu berechnen, benötige ich zwei Seitenhalbierende die senkrecht auf den Seiten stehen, wenn ich diese dann gleichsetze müssste ich den Schnittpunkt und damit den Schwerpunkt des Dreiecks rauskriegen:
[mm] s_1: $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] A$ + [mm] \lambda 0,5$(\vec [/mm] AB)$ = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] s_2: $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] A$ + [mm] \lambda 0,5$(\vec [/mm] AC)$ = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{pmatrix}
[/mm]
somit habe ich die beiden Seitenhalbierenden, müssen dies doch noch senkrecht auf den Vektoren AB und AC stehen, oder?
0,5(AB) [mm] \cdot{} [/mm] AB = 0; [mm] \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = 0
0,5(AC) [mm] \cdot{} [/mm] AC = 0; [mm] \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 1,5 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = 0
nur für welches lambda bekomme ich diese Bedingung jeweils? Wenn ich dies habe, kann ich diese beiden Geraden gleichsetzen und ich erhalte [mm] \lambda [/mm] bzw [mm] \mu [/mm] für das ich dann den Schnittpunkt erhalte?
Vielen Dank,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 15.06.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo itse,
deine Seitenhalbierenden stimmen nicht.
Du brauchst jeweils den Mittelpunkt einer Seite und den Richtungsvektor von diesem Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Also z.B. den Mittelpunkt [mm] \overrightarrow{M_1} [/mm] von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und den Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{M_1 C}.
[/mm]
Ausgerechnet wäre dies:
[mm] $\overrightarrow{M_1}=\frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\vektor{-0,5\\0,5\\1}$
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{M_1 C}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{M_1}=\vektor{2,5\\2,5\\4}$
[/mm]
Daraus bastelst du dir jetzt die Seitenhalbierende
[mm] $\overrightarrow{s_1}=\vektor{-0,5\\0,5\\1}+\lambda*\vektor{2,5\\2,5\\4}$
[/mm]
Die anderen Seitenhalbierenden (du brauchst ja nur noch eine) berechnest du analog und bekommst den Schnittpunkt durch Gleichsetzten.
Lieben Gruß,
Fulla
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