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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Rotationskörper um die y-Achse mit [mm] y=bx^2. [/mm] Berechnen Sie das Volumen in Abhängigkei von h und die Lage des Schwerpunktes in Abhängigkeit von h. |
Hallo,
das Volumen ist klar, das habe ich per Volumenformel gelöst. Es kam heraus:
[mm] h^2*\pi/(2b)
[/mm]
Nun habe ich folgenden Gedanken, um den Schwerpunkt zu bestimmen:
Aus Symmetriegründen muss der Schwerpunkt auf der x und z Achse liegen (y ist bei mir die Achse, die nach oben zeigt).
Dann gilt für homogene Kröper, dass der Schwerpunkt gleich
[mm] 1/V*\int{\vec{r}dV} [/mm] ist.
Nun habe ich mir gedacht, dass dann folgendes gelten muss: Die y Koordinate des Schwerpunktes liegt genau da, wo das Volumen oberhalb und das Volumen unterhalb der Korrdinate gleich ist. Das habe ich angesetzt, und habe [mm] y=h/\sqrt{2} [/mm] herausbekommen. Denn der Schwerpunkt bei homogenen Körpern stimmt ja mit dem "Volumenmittelpunkt" überein.
Nun steht aber z.B. in der Wikipedia, dass der y-Wert des Schwerpunktes eines Rotationsparaboloids gleich y=2/3 h vom Scheitel aus gemessen ist. Bei mir wäres es aber [mm] 1/\sqrt{2} [/mm] h vom Scheitel aus gemessen....
Nun gut, da habe ich mir gedacht, rechne ich es mit HIlfe des Integrals aus, das dort oben schon steht.
Also müsste ich dann ja für die y Korrdinate, da x=z=0 gilt, folgendes berechnen:
1/V * [mm] \int{y dV}=1/V *\int{y dx*dy*dz}.
[/mm]
Bei meinem Rotationsparaboloid muss ich dann also das Integral
[mm] \integral_{-z}^{z}{\integral_{0}^{h}{\integral_{-x}^{x}{y dx*dy*dz}}} [/mm] berechnen.
Nun, wenn ich das einsteze, so kommt dort als Stammfunktion [mm] [xz*1/2y^2] [/mm] heraus. Dann setze ich die Grenzen ein, und komme auf [mm] x*z*1/2h^2. [/mm] Da unten einmal die 0 von y steht, fällt der Term danach also weg.
Nun ist aber mein Problem, dass ich ja eigentlich die Lage des Schwerpunktes in Abhängigkeit von h haben will.
Nun könnte ich ja sagen, dass [mm] y=bx^2 [/mm] => [mm] x=\sqrt{y/b}, [/mm] und das kann ich dann für z und x einsetzen, da ja sowohl x als auch z beim Rotationskörper beide gleich weit weg von der Drehachse y sind.
Aber dann komme ich auch nicht auf die 2/3h, wenn ich das ganze dann wieder Einsetze.
Nun meine Frage: Wie muss ich das Integral "richtig" berechnen, damit ich auf die 2/3h komme, und was ist an meinem Ansatz mit Volumen oberhalb des Schwerpunktes = Volumen unterhalb des Schwerpunktes falsch?
LG
Kroni
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Hallo!
Dein Ansatz ist in sofern falsch, da es beim Schwerpunkt nicht nur auf die einzelnen Volumenelemente $dV=dxdydz$ ankommt, sondern zusätzlich auch auf deren Entfernung vom Schwerpunkt, also auf $r*dV=r*drdxdz$.
Anschaulich kannst du dir mal ne Balkenwaage vorstellen. die ist genau dann in der Waage (äh ja...), wenn der Schwerpunkt mit der Drehachse übereinstimmt.
Normalerweise sind beide Arme der waage gleich lang, dann muß rechts und links tatsächlich das gleiche Gewicht liegen. ABER: wenn die Arme unterschiedlich lang sind, müssen auch die Gewichte unterschiedlich sein. So kannst du Personenwaagen mit Gewichten von ein paar 100g bauen.
Dein Gewicht ist entlang der Rotationsachse auch nicht gleich verteilt, und daher kannst du nicht einfach nach dem halben Volumen fragen.
Zu deinem Integral:
Generell ist das Volumen richtigerweise
[mm] V=\int\int\int\,dxdydz
[/mm]
Aber für dein Problem solltest du eher Zylinderkoordinaten nehmen, das geht so:
[mm] $V=\int\int\int\,\red{r}*drd\phi [/mm] dy$ Normalerweise nimmt man z für die Höhe, aber man kanns auch lassen. Denk an das zusätzliche r, das übrigens für den Abstand von der Rotationsachse steht.
Intergriert wird jetzt:
[mm] y\in[0;h]
[/mm]
[mm] r\in[0;\wurzel{y}/b]
[/mm]
[mm] \phi\in[0;2\pi]
[/mm]
Schau mal, ob du damit auch auf dein Volumen kommst.
Wie du richtig erkannt hast, mußt du für den Schwerpunkt nun noch ein zusätzliches y in das Integral schmuggeln, und später noch duch V teilen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
>
> Zu deinem Integral:
>
> Generell ist das Volumen richtigerweise
>
> [mm]V=\int\int\int\,dxdydz[/mm]
>
> Aber für dein Problem solltest du eher Zylinderkoordinaten
> nehmen, das geht so:
>
> [mm]V=\int\int\int\,\red{r}*drd\phi dy[/mm] Normalerweise nimmt man
> z für die Höhe, aber man kanns auch lassen. Denk an das
> zusätzliche r, das übrigens für den Abstand von der
> Rotationsachse steht.
>
> Intergriert wird jetzt:
>
> [mm]y\in[0;h][/mm]
>
> [mm]r\in[0;\wurzel{y}/b][/mm]
>
> [mm]\phi\in[0;2\pi][/mm]
>
>
> Schau mal, ob du damit auch auf dein Volumen kommst.
Da komme ich dann bis auf den Faktor 1/2 auch auf mein Ergebnis...das scheint irgendein Problem mit den [mm] 2\pi [/mm] zu geben...naja, aber das Volumen mit der Rotationsachse scheint für mich zu stimmen.
>
> Wie du richtig erkannt hast, mußt du für den Schwerpunkt
> nun noch ein zusätzliches y in das Integral schmuggeln, und
> später noch duch V teilen.
Ja, die eine Überlegung war, dass ich dass dx und dz als Kreisfälche interpreitere, und dann das Volumen des Körpers als y*Kreisfläche(y) hernehme, und dann über y integriere. Das ergibt dann auch die 2/3h.
Die andere Überlegung war für mich, dass ich z.B. anstatt dx dx/dy *dy schreibe, und somit dann auch über y integriere. Indem ich dann x als Funktion von y angebe [mm] (x(y)=\sqrt{y/b}), [/mm] und dann irgendwie integriere. Aber da weiß ich dann auch nicht, wie genau ich das dann machen soll....
Weiß jemand hier, wie man dann rechnet?
Aber mit der Kreisfläche, dass dann unter dem Integral
[mm] y*\pi*r^2=y*\pi*x^2=y*\pi*y/b [/mm] steht, passt das ganze dann, wenn ich hinterher durch mein Volumen teile.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
> >
> > Zu deinem Integral:
> >
> > Generell ist das Volumen richtigerweise
> >
> > [mm]V=\int\int\int\,dxdydz[/mm]
> >
> > Aber für dein Problem solltest du eher Zylinderkoordinaten
> > nehmen, das geht so:
> >
> > [mm]V=\int\int\int\,\red{r}*drd\phi dy[/mm] Normalerweise nimmt man
> > z für die Höhe, aber man kanns auch lassen. Denk an das
> > zusätzliche r, das übrigens für den Abstand von der
> > Rotationsachse steht.
> >
> > Intergriert wird jetzt:
> >
> > [mm]y\in[0;h][/mm]
> >
> > [mm]r\in[0;\wurzel{y}/b][/mm]
> >
> > [mm]\phi\in[0;2\pi][/mm]
> >
> >
> > Schau mal, ob du damit auch auf dein Volumen kommst.
>
> Da komme ich dann bis auf den Faktor 1/2 auch auf mein
> Ergebnis...das scheint irgendein Problem mit den [mm]2\pi[/mm] zu
> geben...
Schreib doch mal auf, was du gerechnet hast; ich bekomme das gewünschte Ergebnis heraus 
> > Wie du richtig erkannt hast, mußt du für den Schwerpunkt
> > nun noch ein zusätzliches y in das Integral schmuggeln, und
> > später noch duch V teilen.
>
> Ja, die eine Überlegung war, dass ich dass dx und dz als
> Kreisfälche interpreitere, und dann das Volumen des Körpers
> als y*Kreisfläche(y) hernehme, und dann über y integriere.
> Das ergibt dann auch die 2/3h.
Das ist nicht Anderes als das Integral oben: die Integration über [mm]\phi[/mm] ergibt den Faktor [mm]2\pi[/mm], die Integration über r ergibt [mm]r^2/2[/mm], insgesamt also gerade [mm]\pi r^2[/mm].
> Die andere Überlegung war für mich, dass ich z.B. anstatt
> dx dx/dy *dy schreibe, und somit dann auch über y
> integriere. Indem ich dann x als Funktion von y angebe
> [mm](x(y)=\sqrt{y/b}),[/mm] und dann irgendwie integriere. Aber da
> weiß ich dann auch nicht, wie genau ich das dann machen
> soll....
>
> Weiß jemand hier, wie man dann rechnet?
Mühsam!
Der Trick besteht darin, die Grenzen der Integration richtig anzugeben. Die Integration über y geht von 0 bis h, das ist einfach. Für ein gegebenes y müssen die Integrationsgrenzen für x und z den Rand des Kreises in der (x,z)-Ebene in Höhe y richtig beschreiben. Dieser Rand wird beschrieben durch
[mm]x^2+z^2 = \bruch{y}{b}[/mm].
Du kannst also zum Beispiel für die Integration von x die Grenzen [mm]\pm\sqrt{\bruch{y}{b}}[/mm] angeben und musst dann über z von [mm]-\sqrt{\bruch{y}{b}-x^2}[/mm] bis [mm]+\sqrt{\bruch{y}{b}-x^2}[/mm] integrieren:
[mm]\integral_{0}^{h}dy\,y\integral_{-\sqrt{y/b}}^{+\sqrt{y/b}}dx\,\integral_{-\sqrt{\bruch{y}{b}-x^2}}^
{+\sqrt{\bruch{y}{b}-x^2}}dz = \integral_{0}^{h}dy\,y\integral_{-\sqrt{y/b}}^{+\sqrt{y/b}}dx \, \left(2* \left(\sqrt{\bruch{y}{b}-x^2}\right)\right)[/mm]
Das Integral über x gibt gerade [mm]\pi\bruch{y}{b}[/mm], sodass insgesamt [mm]\pi \bruch{h^3}{3b}[/mm] herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
danke für deine Antwort=)
Also, ich habe als Funktion bei dem Dreifachintegral über r folgendes: [0.5r^2*Phi*y] in den Grenzen (0,\sqrt{y/b), (0,2\pi), (0,h)
Das ergibt:
(y*2\pi*h)/2b
Wenn ich jetzt noch y=setze, so steht dort:
h^2*\pi /b
Wenn ich das aber Via Rotation um die y-Achse berechne, so bekomme ich h^2\pi /(2b) hraus.
Wo ist da der Fehler?
LG
Kroni
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Moment... Berechnest du jetzt das Volumen, oder das mit dem y drinne? Deine Formel sagt, du rechnest grade das mit dem y.
Führen wir die Integrale hintereinander aus:
[mm] $\int_0^{2\pi} [/mm] yr [mm] \, d\phi={2\pi}yr$
[/mm]
[mm] $\int_0^{\wurzel{\frac{y}{b}}} {2\pi}yr \, dr=[\pi yr^2]=\pi y\frac{y}{b}=\pi \frac{y^2}{b}$
[/mm]
[mm] $\int_0^h \pi \frac{y^2}{b}\,dy=[\pi \frac{y^3}{3b}]=\pi \frac{h^3}{3b}$
[/mm]
Für das Volumen fehlt der Faktor y, das macht aus den letzten beiden:
[mm] $\int_0^{2\pi} [/mm] r [mm] \, d\phi={2\pi}r$ [/mm] (Kreisumfang)
[mm] $\int_0^{\wurzel{\frac{y}{b}}} {2\pi}r \, dr=[\pi r^2]=\pi \frac{y}{b}$ [/mm] (kreisfläche)
[mm] $V=\int_0^h \pi \frac{y}{b}\,dy=[\pi \frac{y^2}{2b}]=\pi \frac{h^2}{2b}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Moment... Berechnest du jetzt das Volumen, oder das mit dem
> y drinne? Deine Formel sagt, du rechnest grade das mit dem
> y.
Hi,
ich muss gestehen, ich weiß gerade selbst nicht genau, was ich berechnet habe.
>
>
> Führen wir die Integrale hintereinander aus:
>
>
> [mm]\int_0^{2\pi} yr \, d\phi={2\pi}yr[/mm]
>
> [mm]\int_0^{\wurzel{\frac{y}{b}}} {2\pi}yr \, dr=[\pi yr^2]=\pi y\frac{y}{b}=\pi \frac{y^2}{b}[/mm]
>
> [mm]\int_0^h \pi \frac{y^2}{b}\,dy=[\pi \frac{y^3}{3b}]=\pi \frac{h^3}{3b}[/mm]
>
>
> Für das Volumen fehlt der Faktor y, das macht aus den
> letzten beiden:
>
>
> [mm]\int_0^{2\pi} r \, d\phi={2\pi}r[/mm] (Kreisumfang)
>
> [mm]\int_0^{\wurzel{\frac{y}{b}}} {2\pi}r \, dr=[\pi r^2]=\pi \frac{y}{b}[/mm]
> (kreisfläche)
>
> [mm]V=\int_0^h \pi \frac{y}{b}\,dy=[\pi \frac{y^2}{2b}]=\pi \frac{h^2}{2b}[/mm]
Das entspricht ja genau meiner Lösung.
Okay, also kann ich das Integral nicht einfach so lösen, wie ich es gemacht habe, weil bei in deiner Lösung ja noch erst nach d phi integriert wird, dann das multipliziet mit dem r, dann nach dr integriert, und dann das multipliziert mit y und dann nach dy integrieren...
Weil ich habe ja einfach jedes Integral einzeln berechnet, und dann einfach miteinander multipliziert, so dass dann also wohl das Falsche herausgekommen ist...
Nun ja, danke für deine Antwot, wir werden die Dreifachintegration hoffentilich bald mal in den Übungen üben*g*
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kroni!
Die Mehrfachintegration ist in der Tat eine Frage der Übung. Der eine wichtige Punkt ist immer, wovon die einzelnen Terme abhängen. Zum Beispiel hängt das Integral über r von y ab, weil die Grenzen des bestimmten Integrals von y abhängen, deswegen darfst du es nicht herausziehen. Das Integral über [mm]\phi[/mm] is unabhängig von den anderen Variablen, deswegen kansnt du es getrennt berechnen.
Das hängt eng zusammen mit dem anderen wichtigen Punkt: die korrekte Wahl der Grenzen. Anschaulich bedeutet die Abhängigkeit von y ja, dass der Radius des Schnittkreises des Paraboloids mit der um y verschobenen xz-Ebene von y abhängt.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Du kannst die Integrationen solange in beliebiger Reihenfolge durchführen, wie die Grenzen der einzelnen nicht voneinander abhängen.
r ist von y abhängig, bringt also zusätzliche y mit in den Integranden. Daher darfst du y erst nach r integrieren. Der Winkel ist völlig unabhängig, die Integration, die dir ja nur nen faktor [mm] 2\pi [/mm] bringt, kannst zu jederzeit durchführen.
Das ist auch das Problem bei dem "steinigen Weg", den dir Rainer ja noch etwas weiter ausgeführt hat. Die Grenzen sind ansich schon eklig, aber wenn du dann noch das eine in das andere einsetzt, wird's unschön.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 22.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für diese Infos, das war mir bisher noch unklar. Aber so ist es um einiges Klarer=) Nun, danke für eure Hilfe=)
LG
Kroni
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