Schreibweise einer Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hier habe ich noch eine Frage zur mathematischen Schreibweise:
Angenommen ich habe eine Funktion
[mm] u(x,\rho)=-e^{-\rho*x}
[/mm]
Ich möchte nun schreiben, dass die Umkehrfunktion für gegebenes [mm] \rho [/mm] existiert. Mein Problem ist, dass u ja nicht nur von x [mm] \in \IR, [/mm] sondern auch von [mm] \rho \in \IR^{0} [/mm] abhängt, wobei [mm] \IR^{0} [/mm] bedeuten soll [mm] \IR [/mm] ohne Null.
Meine Idee ist:
Sei u eine Funktion
[mm] u|\rho: \IR|\rho \to \IR^{+}|\rho,
[/mm]
dann existiert die Umkehrfunktion
[mm] u^{-1}|\rho: \IR^{+}|\rho \to \IR|\rho [/mm] g.d.w.
[mm] u|\rho [/mm] bijektiv ist.
Kann ich das so schreiben?
Was sollte ich daran verändern, um die Aussage korrekt zu machen und korrekt in Mathenotation darzustellen?
Danke im Voraus für jedwede Hilfe.
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> Hier habe ich noch eine Frage zur mathematischen
> Schreibweise:
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> Angenommen ich habe eine Funktion
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> [mm]u(x,\rho)=-e^{-\rho*x}[/mm]
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> Ich möchte nun schreiben, dass die Umkehrfunktion für
> gegebenes [mm]\rho[/mm] existiert. Mein Problem ist, dass u ja nicht
> nur von x [mm]\in \IR,[/mm] sondern auch von [mm]\rho \in \IR^{0}[/mm]
> abhängt, wobei [mm]\IR^{0}[/mm] bedeuten soll [mm]\IR[/mm] ohne Null.
Ich studiere zwar noch nicht lange. Aber das sieht in meinen Augen schlimm aus. Besser [mm] $\IR \setminus \{0\}$
[/mm]
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> Meine Idee ist:
>
> Sei u eine Funktion
>
> [mm]u|\rho: \IR|\rho \to \IR^{+}|\rho,[/mm]
>
> dann existiert die Umkehrfunktion
>
> [mm]u^{-1}|\rho: \IR^{+}|\rho \to \IR|\rho[/mm] g.d.w.
>
> [mm]u|\rho[/mm] bijektiv ist.
>
> Kann ich das so schreiben?
> Was sollte ich daran verändern, um die Aussage korrekt zu
> machen und korrekt in Mathenotation darzustellen?
>
> Danke im Voraus für jedwede Hilfe.
>
>
Da ich schon einmal bei bijektiven Abbildungen hier im Forum so positiv aufgefallen bin., versuch ich es auch hier
Ich würde schreiben.
[mm] $u_p:M\to N\subset\IR, x\mapsto -e^{-px}$ [/mm] mit [mm] $M\subset \IR$, [/mm] $p [mm] \in \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
[mm] $\exists u_p^{-1}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M , [mm] x\mapsto u_p^{-1}(x)$ [/mm] mit $u [mm] u^{-1}=id \gdw \text{Eigenschaft von p}$
[/mm]
Allerdings ist das mit der Umkehrabbildung im mehrdimensionalen Fall schwieriger. Deshalb würde ich das p als Index setzen.
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Danke, das hilft schon mal sehr viel weiter.
Kannst Du mir vielleicht noch sagen, worin der Unterschied von [mm] \to [/mm] und [mm] \mapsto [/mm] liegt? Bezeichnet nicht beides die "Abbildung nach"?
Im Übrigen weiß ich auch nicht, was "id" heisst.
Gibt es eigentlich irgendeine Quelle, wo man die Mathenotation mit Erklärungen und ggf. Beispielen nachlesen kann?
Vielen Dank schon mal.
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Hi
Eine Abbildung ist eine Relation zwischen Mengen! Bei der Schreibweise f(x)=... ist das schlampig geschrieben. Da fehlt die Angabe um welche Mengen es sich handelt.
Der normale Pfeil zeigt an von wo nach wo die Abbildung geht. In diesem Fall bildet die Funktion die Menge M in die Menge N [mm] ab($M\to [/mm] N$).
Der zweite Pfeil [mm] $\mapsto$ [/mm] sagt an, wie die Zuordnung definiert ist.
z.B. [mm] y=f(x)=x^2 [/mm] kann man schreiben als [mm] x\mapsto x^2. [/mm] Jedem x wird dessem Quadrat zugeordnet. Jetzt gibt es aber den Unterschied:
[mm] $f:\IN \to \IR [/mm] , [mm] x\mapsto x^2$ [/mm] ist injektiv
[mm] $f:\IR \to \IR [/mm] , [mm] x\mapsto x^2$ [/mm] ist nicht injektiv
> Im Übrigen weiß ich auch nicht, was "id" heisst.
id ist die Identität (bei mir) Ich wusste nicht, wie man sonst zeigen soll, das [mm] u^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung von u ist. [mm] u(u^{-1}(x))=id(x)=x
[/mm]
> Gibt es eigentlich irgendeine Quelle, wo man die Mathenotation mit Erklärungen und ggf. Beispielen nachlesen kann?
Mir wurde am Anfang das Buch "o.B.d.A trivial" empfohlen. Ich habe es aber nicht gelesen.
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Danke für die geduldige Hilfe!
Bzgl. "id":
Könnte man nicht einfach schreiben:
[mm] u[u^{-1}(x)] [/mm] = x ?
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Hallo!
nun, dazu müßtest du ja wieder angeben, was x ist. Das ID ist ein Schlüsselwort, und bezeichnet ein "neutrales Element" z.B. der Multiplikation, da ist id=1. Bei der Matrixmultiplikation wäre id eine Matrix mit einsen in der Diagonalen, und sonst nur nullen, etc.
Bezüglich der Schreibweise: [mm] \IR^0 [/mm] ist nicht gut, denn mit [mm] \IR^3 [/mm] beschreibt man z.B. gerne den dreidimensionalen Raum. Besser wäre [mm] \IR_0 [/mm] , das macht man auch bei [mm] \IN_0 [/mm] , um zu kennzeichnen, ob man die 0 mitnimmt, oder nicht. (Ich vergesse allerdings ständig, was was ist, da hat die [mm] $\textbackslash \{0\}$-Schreibweise [/mm] ihren Vorteil.
Jedenfalls, das [mm] \IR^3 [/mm] zeigt, daß es um ne Art Multiplikation geht, und daher würde ich an deiner Stelle [mm] \IR\times\IR_0 [/mm] schreiben, so habe ich es jedenfalls kennengelernt.
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Danke für die Aufklärung in diesem Punkt.
Bzgl. id:
Naja, ich dachte mir, das x welches in [mm] u[u^{-1}(x)] [/mm] reingeht, kommt am Ende auch wieder heraus.
Das ist mir immer noch nicht ganz klar.
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Hallo!
Nunja...
Du kannst schreiben: [mm] u^{-1}(u(x))=x. [/mm] Dann ist x ein Element der Urbildmenge von u.
Jetzt darfst du aber nicht schreiben [mm] u(u^{-1}(x))=x [/mm] , weil das x nun aus der Bildmenge von u stammt.
Deshalb hat man dieses id, welches selbst eine Abbildung ist, und zwar die, die jedes Element auf sich selbst abbildet.
Du machst daraus nun ein [mm] u(u^{-1}(x))=id(x) [/mm] , wenn du so willst.
Vielleicht ein anschauliches Beispiel:
In der linearen Algebra stellen Vektoren oft die Elemente der (Ur)bilder, und Matritzen sind die Repräsentationen von lin Funktionen.
Oft hat man nun eine ganze Reihe von Matritzen da stehen, und ganz rechts ein [mm] \vec{x} [/mm] . Du rechnest nun aber nur mit den ganzen Matritzen untereinander, und betrachtest das [mm] \vec{x} [/mm] eigentlich nicht mehr. Und dabei hantiert man oft genug mit der o.g. EInheitsmatrix, und bezeichnet die einfach als id, und das ist in dem Kontext eine Funktion, weil Matrix, und nicht Vektor.
Noch ein Beispiel der Eigenwertberechnung:
[mm] A*\vec{x}=\lambda*\vec{x}
[/mm]
[mm] A*\vec{x}-\lambda*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
Links will man nun [mm] \vec{x} [/mm] ausklammern, aber dann würde man einen Skalar von einer Matrix abziehen. Also:
[mm] (A-\lambda*id)*\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
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