Schnittpunktebestimmung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Do 03.02.2005 | | Autor: | Defender |
hi@all
Im moment behandeln wir Vektorrechnungen.
Das Problem:
- Gegeben sind 2 Vektorgleichungen die 2 Geraden beschreiben:
1) g: [mm] \vec{x}= \vektor{3 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
2) h: [mm] \vec{x}= \vektor{4 \\ 1} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Der erste Vektor ist der Stützvektor und der 2te der Richtungsvektor der mit der Variable, in diesem Fall r genannt, geändert werden kann.
Wenn man diese Geraden nun zeichnet, sieht man das die beiden Geraden sich schneiden. Wie kann man nun den Schnittpunkt errechnen? Woran man da als erstes denkt ist natürlich sie gleichzusetzen, aber wie das mit Vektoren gehen soll ist mir ein Rätsel...
Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß
Defender
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Defender!
> hi@all
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> Im moment behandeln wir Vektorrechnungen.
>
> Das Problem:
> - Gegeben sind 2 Vektorgleichungen die 2 Geraden
> beschreiben:
>
> 1) g: [mm]\vec{x}= \vektor{3 \\ 2}[/mm] + r * [mm]\vektor{2 \\ -1}
[/mm]
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> 2) h: [mm]\vec{x}= \vektor{4 \\ 1}[/mm] + r * [mm]\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
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> Der erste Vektor ist der Stützvektor und der 2te der
> Richtungsvektor der mit der Variable, in diesem Fall r
> genannt, geändert werden kann.
>
> Wenn man diese Geraden nun zeichnet, sieht man das die
> beiden Geraden sich schneiden. Wie kann man nun den
> Schnittpunkt errechnen? Woran man da als erstes denkt ist
> natürlich sie gleichzusetzen, aber wie das mit Vektoren
> gehen soll ist mir ein Rätsel...
>
Zunächst einmal solltest du besser die Variablen $r$ in den Geradengleichungen umbenennen (das r von g muß ja nicht mit dem r von h übereinstimmen!):
1) g: [mm]\vec{x}= \vektor{3 \\ 2} + \blue{r_1} * \vektor{2 \\ -1}[/mm]
2) h: [mm]\vec{x}= \vektor{4 \\ 1} + \blue{r_2} * \vektor{1 \\ 2}[/mm]
Jetzt ist dein Ansatz korrekt:
Gleichsetzen von 1) und 2) liefert:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\vektor{3 \\ 2} + r_1 * \vektor{2 \\ -1}= \vektor{4 \\ 1} + r_2 * \vektor{1 \\ 2}[/mm]
Etwas rechnen liefert dann aus [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm]\vektor{3 \\ 2}-\vektor{4 \\ 1} = r_2 * \vektor{1 \\ 2}-r_1 * \vektor{2 \\ -1}[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]\vektor{-1 \\ 1} = \vektor{r_2-2r_1 \\ 2r_2+r_1}[/mm]
Nun stellst du (durch komponentenweisen Vergleich) zwei Gleichungen auf:
(I) [mm] $r_2-2r_1=-1$
[/mm]
(II) [mm] $2r_2+r_1=1$
[/mm]
Das Gleichungssystem kannst du dann lösen und damit [mm] $r_1$ [/mm] (und [mm] $r_2$) [/mm] berechnen und damit auch den Schnittpunkt (setze dein Ergebnis für [mm] $r_1$ [/mm] einfach in 1) ein und berechne damit den Schnittpunkt). Bei Unklarheiten frage bitte nochmal nach! 
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 03.02.2005 | | Autor: | Defender |
Hi!
Danke für deine Antwort aber etwas ist mir noch unklar. Wenn ich die beiden Gleichungen habe, also:
1) [mm] r_{2} [/mm] - [mm] 2r_{1} [/mm] = -1
2) [mm] 2r_{2} [/mm] + [mm] r_{1} [/mm] = 1
Also ab jetzt muss man nach r1 und r2 auflösen, also:
1) [mm] r_{2} [/mm] = -1 + [mm] 2r_{1}
[/mm]
2) [mm] r_{1} [/mm] = 1 - [mm] 2r_{2}
[/mm]
Wie es nun weitergeht, weiss ich nicht genau. Wie kann ich denn nun den Schnittpunkt ermitteln? Wieso muss man dazu überhaupt r1 und r2 errechnen?...Fragen über Fragen 
Gruß
Defender
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Defender!
> Also ab jetzt muss man nach r1 und r2 auflösen und dann?
> Wie bekommt man dann den Schnittpunkt, das habe ich nun
> nicht ganz verstanden.
Wie Du es mit den bisherigen Geraden auch gemacht hast:
Du setzt Deine ermittelten Werte in die entsprechende Geradengleichung ein.
Also [mm] $r_1$ [/mm] in die Gleichung von $g$. Damit erhältst Du nun einen bestimmten Punkt: den gesuchten Schnittpunkt $S$.
Wenn Du nun [mm] $r_2$ [/mm] in die Gleichung von $h$ einsetzt, solltest du dasselbe Ergebnis erhalten. So hast Du also noch eine gute Möglichkeit zur Probe.
Was hast Du denn für die beiden Werte von [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] ermittelt?
Und welchen Schnittpunkt erhältst Du damit?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 03.02.2005 | | Autor: | Defender |
hallo!
Heute ist nicht mein Tag, irgendwie verstehe ich das immernoch nicht. Also ich habe ja nun die Gleichungen nach r1 und r2 aufgelöst, also zuerst so:
1) [mm] r_{2} [/mm] - [mm] 2r_{1} [/mm] = -1
2) [mm] 2r_{2} [/mm] + [mm] r_{1} [/mm] = 1
und dann:
1) [mm] r_{2} [/mm] = -1 + [mm] 2r_{1}
[/mm]
2) [mm] r_{1} [/mm] = 1 - [mm] 2r_{2}
[/mm]
Also nun muss ich r1 in g einsetzen und r2 in h. Ich weiss nicht recht, irgendwie verstehe ich heute nichts :-/...also setzte ich nun 1 - [mm] 2r_{2}
[/mm]
in in g ein oder wie?...
Gruß
Defender
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Na, na, na ...
so schnell schießen auch die Preussen nicht!!
Du mußt aus dem o.g. Gleichungssystem erst einmal die (Zahlen-)Werte für [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] berechnen.
Du mußt für diese beiden Variabeln jeweils einen festen (d.h. konkreten) Zahlenwert haben, z.B. 5.
Mit diesen Zahlenwerten für [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] gehst Du dann in die Geradengleichungen.
Jetzt kapiert?
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 03.02.2005 | | Autor: | Defender |
hi!
Danke das du noch antwortest! Ich habe ja nun die Gleichungen:
1) [mm] r_{2} [/mm] = -1 + [mm] 2r_{1}
[/mm]
2) [mm] r_{1} [/mm] = 1 - [mm] 2r_{2}
[/mm]
Ich weiss ja, das ich nun die Werte für r1 und r2 berechnen muss aber wie komme ich denn nun an die Zahlenwerte? Habe schon den ganzen Tag Kopfschmerzen, da lässt das mathematische Verständnis nach...:-/
Und wenn ich dann nun die Werte für r1 und r2 habe, setze ich die dann in die Geradengleichung g und h ein, das ist mir klar.
Gruß
Defender
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Do 03.02.2005 | | Autor: | Defender |
hi!
Ich habe nicht an die Lösungsverfahren gedacht. Na klar, das Einsetzungsverfahren ist hier sinnvoll! Danke nun habe ich es verstanden! (Hat ja nun auch lange genug gedauert... ) Der Schnittpunkt ist bei S= (4,2 / 1,4 )
Schönen Abend noch!
Gruß
Defender
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Defender!
Entschuldige bitte, dass ich mich nicht früher zurückgemeldet hatte. Aber zum Glück ist ja Loddar für mich eingesprungen, und wie ich sehe, hast du den richtigen Schnittpunkt noch ausgerechnet bekommen. Super! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
(Es war [mm] $r_1=\frac{3}{5}=0,6$ [/mm] und [mm] $r_2=\frac{1}{5}=0,2$.)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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Gauß-Algorithmus![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das habe ich auch ermittelt ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
